Лекция 4

 

Криволинейные интегралы.

Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.

Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).

Как было доказано во втором семестре:

y
|L|=∫dl

так как y = y(x), то

L

 

x

Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если

Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:

,где

Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми и .

Для функции условие непрерывности в точке х=0

нарушается. Кривая, заданная уравнением: не имеет конечной длины (доказать самостоятельно)

 

 

 

 

Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:

,где L - кривая, заданная уравнениями . Докажем корректность определения:

Сделаем замену: ,где и

,где и ,

тогда ,аналогично и

,

Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.

 

Опр. Кривая , заданная параметрическими уравнениями и называется гладкой, если функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль.

 

Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.

 

 

Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):

(свойство аддитивности)

 

Аналогично кривая задается системой:

это уравнение кусочнонеперывной кривой

 

Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало

L кривой в точке А и конец в точке В.

 

 

А В

Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от ,или от .

Опр. Интегралназывается криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве .

 

Криволинейные интегралы второго типа.

 

Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будем рассматривать на плоскости (в).

 

Криволинейным интегралом второго рода называется,

где и , .

Точки А и В имеют координаты

А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.

L₊ означает, что выбрано положительное

направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл от А до В имеет положительное значение.

Обозначим - радиус вектор и

Работа по перемещению тела из точки А в точку В
в поле выражается интегралом:

в этом и есть физический смысл интеграла.

Докажем корректность определения:

Делаем замену t=t(u) и ,

и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит интеграл можно представить в виде:

т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.

Свойства:

1⁰ Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е. и

А

2⁰ L₊ L_- L₊=AB
L_-=BA

В

Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус в другом направлении

Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.

В

Зададим касательный вектор движения по прямой

,

А

,а этот интеграл является интегралом первого типа.

 

Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в .

 

Рассмотрим векторное поле , для которого является радиус вектором, тогда

, и

Кривая L задается системой .

По определению:

,

а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в .

 

Пример

Рассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ.

 

Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную равной .

, т.е.

,а

точки А и В имеют координаты и соответственно.

рассмотрим , тогда , как производная сложной функции от нескольких переменных, будет равна

,для вычисления , представим ив виде

, и ,соответственно,

тогда подставив эти выражения в уравнение для , получаем: , а так как работа выражается через определенный интеграл, то подставив это выражение, получаем

Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.