Лекция ?10.

4.10.2002

Фундаментальная система решений линейного

однородного уравнения

 

Начальные условия:

Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема: Решения уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система его решений.

Доказательство: Пусть

Тогда определитель Вронского запишется так:

Систем линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Частные случаи:

n = 2:

:

ПРИМЕР:

 

Поэтому определитель Вронского запишется так:

Общее решение:

 

 

 

 

Общее решение:

 

В общем виде:

Решение надо искать в виде

Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))

- линейно независимы

 

 

;

(по формуле Лейбница).

Общее решение - многочлен k-й степени от аргумента в зависимости от вида частного решения:

Аналогично находятся фундаментальные решения для остальных корней