Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/l8.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:56:03 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:58:04 2012 Кодировка: koi8-r

Лекция 8.
Формула Стокса
Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из
важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора
векторного поля:
Определение. Назовем ротором величину:[pic]
(Существует и другое обозначение ротора: [pic]. По существу, ротор является
«векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор [pic] в данной
точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.

|[pic] |Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора |
| |нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур ?+ -|
| |кусочно-гладкий. |
| |Формула Стокса имеет вид: |


[pic]

Связь ориентации нормали [pic] с направлением обхода можно осуществить при
помощи «правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении
по направлению обхода ?+ указывает направление вектора нормали [pic].
Другой способ: если смотреть из конца вектора [pic], то обход ?+ будет
осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом
виде:

[pic]

Левая часть - это криволинейный интеграл второго типа, а правая -
поверхностный интеграл первого рода.
Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R -
непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая,
контур - кусочно-гладкий.
Представим поле в виде суммы: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Доказательство
проведем для каждого из полей [pic], [pic] и [pic] по отдельности.
Ротор поля [pic]: [pic]. Будем считать, что поверхность S задается системой
уравнений: [pic] Обход контура ?D+ осуществляется против часовой
стрелки - область D остается слева от контура.

Правая часть формулы: [pic]
Левая часть - [pic], в пространстве переменных u,v будет иметь вид: [pic].
Отсюда по формуле Грина [pic]
Вычислим производные по u и v. [pic]Совершенно аналогично выглядит
доказательство для полей [pic] и [pic].
Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается
случай плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты [pic]
[pic]
Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути
интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость
криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-
односвязной области в пространстве.
При каких условиях справедливо [pic]?
Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться
следующие условия:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic] (отличие случая пространства от плоскости)
4. Существует такая функция [pic], что [pic]. Функцию [pic] называют
потенциалом данного поля. [pic]
В этом случае [pic] - разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-
Лейбница).
Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор
равен нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл
[pic][pic] не зависит от траектории.
Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на
плоскости).
Вычислить [pic] (интеграл берется по окружности). Попробуем применить
формулу Грина: [pic]. Вычислим произведение ротора поля [pic] на вектор
нормали: [pic]. Следует ли отсюда, что интеграл по окружности равен нулю?
Чтобы проверить это, сделаем параметризацию: [pic] [pic]
Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны
быть непрерывны. Но [pic] и [pic]. Чтобы интегрировать, нужно удалить из
рассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие
же примеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром
в начале координат).
-----------------------

?+

S

[pic]