Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/l7.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:56:03 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:57:40 2012 Кодировка: koi8-r

Лекция 7
Формула Гаусса-Остроградского

Формула Гаусса-Остроградского является одной из наиболее важных формул в
векторном анализе. Она связывает поток векторного поля через замкнутую
поверхность с напряженностью векторного поля внутри замкнутой поверхности.
Для векотрного поля [pic]:
[pic],
причем поверхностный интеграл потока векторного поля берется по
поверхности через внешнюю сторону (вектор нормали к поверхности направлен
«наружу»). Правую часть формулы можно переписать в виде:
[pic], где [pic] - дивергенция векторного поля [pic], [pic] - оператор
Гамильтона (набла).
Формула Гаусса-Остроградского справедлива, если выполняются два условия.
Во-первых, поверхность S должна быть кусочно-гладкой, т.е. такой, что в
любой ее точке можно провести касательную плоскость (поверхность задается
дифференцируемыми функциями) и двусторонней (направление нормали при
движении вдоль поверхности сохраняется. Во-вторых, векторное поле [pic]
должно быть таким, что функции [pic] и их частные производные по x, y и z
непрерывны в области V.
Другие варианты формулы Гаусса-Остроградского.
Запишем выражение для вектора нормали: [pic], где [pic]- углы,
| |которые вектор нормали составляет с осями координат. |
| |[pic]. |
| |Отсюда [pic] |


Кроме того, имеет место следующая формула: [pic]
Доказательство формулы (1 вариант):
[pic] Представим векторное поле в виде суммы векторных полей: [pic], где
[pic], найдем потоки этих векторных полей по отдельности, а затем сложим
их.
Рассмотрим сначала случай поля [pic]. Замкнутая поверхность является
цилиндроидом, ограниченным сверху и снизу поверхностями, заданными в явном
виде: [pic](снизу) и

|[pic] |[pic](сверху). Поверхность S состоит из |
| |нижней S1, боковой S2 и верхней S3 |
| |поверхностей. Рассмотрим поверхностный |
| |интеграл по S1. D - проекция S1 на |
| |плоскость xy. |
| |Координаты вектора нормали: [pic]. |
| [pic] | |


Так как вектор нормали направлен вниз (координата по z отрицательна), то
в формуле для [pic]нужно выбрать знак «+». [pic].
Дифференциал поверхности равен: [pic] Отсюда [pic]Интеграл по боковой
поверхности S2. Вектор нормали [pic], так как нормаль параллельна плоскости
xy. [pic]. Какая бы ни была боковая поверхность, интеграл по ней равен
нулю: [pic]
Интеграл по поверхности S3Рассматривается аналогично интегралу по
поверхности S1 с той разницей, что вектор нормали направлен в
противоположную сторону - вверх:[pic]. Скалярное произведение [pic] на
вектор нормали: [pic], дифференциал поверхности: [pic] [pic]
[pic]
Сложим интегралы по поверхностям S1, S2 и S3:
[pic]
Рассмотрим тройной интеграл по объему V:
[pic]
Таким образом, для векторного поля [pic] формула Гаусса-Остроградского
[pic]доказана.
Аналогично доказывается формула, если взять поле [pic], и в качестве
замкнутой поверхности взять цилиндроид, ось которого направлена вдоль оси
y. [pic]
[pic](доказывается аналогично)
Аналогично и для поля [pic]:
[pic]
Если взять поле [pic], то [pic] - формула Гаусса-Остроградского в общем
виде верна.
При доказательстве мы использовали замкнутую поверхность, которая может
быть представлена как цилиндроид с осью, направленной вдоль осей x, y или
z. Такой поверхностью является прямоугольный параллелепипед. Если
рассмотреть произвольную поверхность, то справедливость формулы не
очевидна.
Разобьем произвольную поверхность на две - S1 и S2.
Проинтегрируем векторное поле по каждой поверхности и сложим. Получатся
интегралы по S1, S2 и два интеграла по сечению. Интегралы по сечению
отличаются только знаком (так как векторы нормалей направлены в разные
стороны), они уничтожаются при сложении. Поэтому поверхность можно
разбивать на части, интегрировать по ним, результаты складывать.
Произведем сечение замкнутой поверхности большим числом перпендикулярных
плоскостей. Формула Гаусса-Остроградского будет верна всюду, кроме границ
поверхности, на границах становится справедливой при устремлении диаметра
разбиения к нулю. Отсюда следует, что формула Гаусса-Остроградского
справедлива для любой кусочно-гладкой поверхности.
Пример.
В качестве поля [pic]возьмем радиус-вектор: [pic], S - сфера радиуса R с
центром в начале координат.
Для нахождения потока вектора воспользуемся формулой Гаусса-
Остроградского:
[pic]

Формула Ньютона-Лейбница представляет интеграл по отрезку по значениям
первообразной на границах отрезка. Формула Гаусса-Остроградского
представляет собой, по существу, то же самое (вместо отрезка - объем,
вместо границ отрезка - замкнутая поверхность). Эту формулу, как и формулу
Грина, можно считать обобщением формулы Ньютона-Лейбница.
-----------------------
x

y

z

?

?

?

[pic]









D







z

S2

x

S1
z=z1(x,y)

S3
z=z2(x,y)

D

y