Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/08.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:59 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:54:46 2012 Кодировка: koi8-r

Дифференцирование сложной функции.
Теорема: Пусть [pic] и функции x = x(u, v)([pic], y(u, v)([pic] [pic]=
x(u0, v0), y0 = y(u0, v0).
Тогда f(x(u, v), y(u, v))(D(u0, v0) и
[pic]
[pic]
Доказательство: Рассмотрим разности:
[pic]
из которых следует, что
f(x(u, v), y(u, v)) - f(x(u0, v0), y(u0, v0)) = [pic]
Следовательно, по определению дифференцируемости функция двух переменных:
f(x(u, v), y(u, v))(D(u0, v0) и
[pic]
[pic]
Теорема доказана.
Дифференциал функции двух переменных. Свойство инвариантности
дифференциала.
Пусть [pic].
Определение: Дифференциал d[pic] функции [pic] в точке [pic] называется
следующее выражение:
[pic]
или сокращённо: [pic], где dx и dy - дифференциалы переменных x и y.
Пусть x = x(u, v)([pic] и y(u, v)([pic].
Тогда по определению:
[pic]
Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:
[pic]
Последнее равенство следует из доказанных формул замены переменных.
Таким образом df можно представить в виде:
[pic]
Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.
Частные производные высших порядков. Равенство вторых смешанных
производных.
Первые частные производные [pic] и [pic] есть функции от переменных x и y.
Назовём по определению вторыми частными производными функции [pic]
следующие выражения:
[pic]
Пример:
[pic]
Заметим, что [pic]=[pic]. Это свойство обобщается следующей теоремой.
Теорема: Пусть [pic], [pic] и [pic] непрерывны в некоторой окрестности
точки (x, y), а [pic] и [pic] непрерывны в самой точке (x, y). Тогда в
точке (x, y) равенство:
[pic]=[pic]
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию
[pic].
Обозначим
[pic]
Заметим, что
[pic].
По формуле Лагранжа:
[pic]
где x1((x, x + ?x), y1((y, y + ?y).
Аналогично, для функции h(x, y) справедливы равенства:
[pic]
где x2((x, x + ?x) и y2((y, y + ?y).
Из доказанных равенств следует, что
[pic]
Если [pic]
Поэтому, ввиду непрерывности функций [pic] и [pic] в точке (x, y)
справедливо равенство: [pic]=[pic]
Теорема доказана.
Следствие:
Для смешанных производных высших порядков верно равенство:
[pic]