Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/06.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:58 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:53:54 2012 Кодировка: koi8-r

Теорема о неявной функции.
Теорема: Пусть функция f(x, y) и [pic] непрерывны в окрестности точки
[pic]; кроме того, [pic]= 0 и [pic]. Тогда [pic] такие, что [pic].
Доказательство: Пусть для определённости [pic] > 0. Зафиксируем переменную
x = x0. Тогда функция [pic] > 0 в некоторой окрестности точки y0, т.е.
[pic]
Пусть [pic] Обозначим (1 = y1 - y0. В точке [pic] выполняется неравенство
[pic]. Кроме того, на отрезке [y0 - (1, y0 + (1) функция [pic]монотонно
возрастает. Следовательно, [pic] и [pic]. В силу непрерывности функции f(x,
y), [pic]. Зафиксируем [pic]. Тогда функция f(x, y) при [pic] будет
монотонно возрастающей, так как [pic]> 0, ([pic], ([pic].
Следовательно, ([pic] [pic].
Далее, рассмотрим разность для этих x и y = y(x):
[pic], так как f(x, y) = 0, [pic].
Из этого равенства следует, что
[pic] или при [pic].
Теорема доказана.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Пусть функция f(x, y) и [pic] дифференцируема в некоторой окрестности точки
[pic]; [pic]. Тогда согласно предыдущей теореме уравнение f(x, y) = 0
определяет в некоторой окрестности точки [pic] неявную функцию y = y(x),
такую, что [pic]. Далее, пусть g(x, y) некоторая функция непрерывная вместе
с частными производными [pic] в некоторой окрестности точки [pic].
Рассмотрим функцию: [pic].
Необходимое условие экстремума функции [pic]
[pic]
или [pic].
Кроме того, в точке [pic], функция y = y(x) удовлетворяет условию:

[pic].
Обозначим [pic].
Тогда в точке[pic] должна выполняться система уравнений:
[pic].
Это есть необходимое условие того, чтобы функция g(x, y) имела в точке[pic]
локальный экстремум при условии: f(x, y) = 0.
Достаточным условием экстремума функции g(x, y) при условии f(x, y) = 0
будет неравенство: [pic].
В общем случае задача условного экстремума состоит в следующем: требуется
найти экстремум функции [pic] при наличии условий:
[pic]
Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума состоит в
том, что рассматривается вспомогательная функция Лагранжа:
[pic].
В точке экстремума dG = 0
или [pic].
Из этой системы находится точка [pic] локального экстремума.
Пример: Найти экстремум функции g(x, y) = xy при условии x+ y = 1.
Запишем функцию Лагранжа:
[pic].
В точке экстремума dG[pic],
т.е. [pic] .
Из этой системы находим [pic].
Для исследования экстремума рассмотрим функцию:
[pic]. Заметим, что [pic]. Кроме того, в силу уравнения [pic].
Следовательно, [pic] и точка [pic] есть точка условного максимума функции
g(x, y) = xy при условии x + y =1.