Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/05.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:57 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:53:32 2012 Кодировка: koi8-r

Свойства определенного интеграла.
Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие
свойства определенного интеграла:

1) Если f(x) и g(x)[pic], [pic] - произвольные числа, то функция [pic] и
справедливо равенство: [pic]
2) Если f(x)[pic], то [pic]
3) Если f(x)[pic] и c[pic], то f(x)[pic], f(x)[pic] и справедливо
равенство: [pic]
4) Если f(x)[pic], [pic][pic] и b>a, то справедливо неравенство: [pic]
5) Если f(x) и g(x)[pic], [pic][pic] и b>a, то справедливо неравенство:
[pic]
6) Если f(x)[pic] и [pic], [pic], b>a, то выполняются неравенства: [pic]
7) Если f(x)[pic], то [pic], такое, что выполняется равенство: [pic]

Доказательство свойств.

1) 1) Напишем интегральную сумму для функции [pic] [pic].

Обозначим [pic] и [pic].

Тогда получим равенство: [pic].

Так как [pic] и [pic] то [pic] и по определению он равен [pic] что и
доказывает свойство 1.
2) Напишем интегральную сумму для f(x): [pic].

Обозначим [pic] s=0,.,n и [pic] s=1,.,n.
Тогда [pic] и [pic].
В интегральной сумме S заменим k=n-s:
[pic]

По определению [pic] есть интегральная сумма для интеграла [pic] что и
доказывает свойство 2.
3) Без доказательства.
4) Из неравенства: [pic] b>a, следует, что [pic] и [pic]
5) Так как [pic] то из свойств 1 и 4 следует, что [pic]
6) Так как [pic] то интегрируя эти неравенства, ввиду свойства 5, получим:
[pic]
7) Так как f(x)[pic], то f(x)[pic] (это будет доказано в следующем
параграфе).

Из свойства 6 следует, что [pic] где [pic] и [pic]

По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции [pic]
такая, что [pic] или [pic]

Замечание

Это свойство обычно называют теоремой о среднем.

Критерий интегрируемости функций на отрезке. Интегрируемость непрерывных и
монотонных функций.

Пусть задано некоторое разбиение T отрезка [a, b]: a=x0 f(x)[pic]. Тогда по доказанному ранее f(x) ограничена на [a, b] и,
следовательно, f(x) ограничена на каждом из отрезков разбиения [xk-1, xk],
k=1,.,n.
Обозначим [pic], [pic], k=1,.,n.
[pic]

[pic]
Суммы [pic] и [pic] называются соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу.
Критерий интегрируемости

[pic] (без доказательств).
Теорема об интегрируемости непрерывных функций.
Пусть f(x)[pic]. Тогда f(x)[pic].
Доказательство.
По теореме Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке
функции: [pic]
Пусть разбиение T отрезка [a, b] имеет диаметр [pic] Тогда из равномерной
непрерывности функции f(x) на [a, b] следует, что [pic] k=1,.,n.
Запишем разность [pic] и [pic]в виде суммы:
[pic]
Следовательно [pic] и по критерию интегрируемости f(x)[pic]. Теорема
доказана.

Теорема об интегрируемости монотонных на отрезке функций.
Пусть f(x) - монотонная на отрезке [a, b] функция. Тогда f(x)[pic].
Доказательство.
Предположим для определенности, что f(x) - неубывающая на [a, b] функция.
Пусть T - некоторое разбиение [a, b].
Тогда, ввиду неубывания f(x), Mk=f(xk) и mk=f(xk-1).
Следовательно, разность [pic] - [pic] можно оценить следующим образом:
[pic][pic] [pic].
По критерию интегрируемости f(x)[pic]. Теорема доказана.