Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/03.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:56 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:52:48 2012 Кодировка: koi8-r

Определённый интеграл.
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b].

y





?1 ?2
?n



a = x0 x1 x2
xn-1 xn = b x

Зададим разбиение Т отрезка [a, b] точками а = x0 < x1 = b. На каждом из отрезков разбиения [xi-1, xi], i = 1, ., n, выберем
произвольным образом точку ?i([xi-1, xi], i = 1, ., n, и запишем сумму:
[pic]
которую будем называть интегральной суммой. Сумма S зависит от функции
f(x), разбиения Т и точек ?1, ., ?n.
Назовём диаметром разбиения d(Т) следующую величину:
[pic]
т.е. длину максимального из отрезков разбиения Т.
Определении: Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b]
называется предел :[pic], если он существует, и обозначается так:
[pic]
Более подробно это определение можно представить следующим образом:
число I =[pic], если [pic][pic] [pic] |I - S| < (
Замечание. (геометрический смысл определённого интеграла)
Пусть f(x) (С[a, b] и f(x) [pic]0, x([a, b]
Далее будет доказано, что f(x) интегрируема на [a, b]. Зададим
произвольное разбиение Т отрезка на [a, b] и выберем точки ?i:[pic], i = 1,
., n. Тогда график функции y = f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi]
будет лежать не выше прямой, y =[pic], i = 1, ., n. Следовательно, площадь
криволинейной трапеции:
K
=[pic]: [pic]
не превосходит интегральной суммы S. Если[pic], то площадь K будет сколь
угодно мало отличаться от значения определённого интеграл I. Таким образом,
численное значение площади K равно I. В этом заключается геометрический
смысл определённого интеграла.
Необходимое условие существования определённого интеграла от функции f(x)
на отрезке [a, b].
Определение: Функция f(x) называется ограниченной на множестве M(R, если
[pic]
Если f(x) интегрируема на [a, b], то будем это обозначать так: f(x)(R[a,
b].
Теорема: Если f(x)(R[a, b], то функция f(x) ограничена на [a, b].
Доказательство: Предположим, что f(x)(R[a, b] и f(x) неограничена на [a,
b].
Из условия теоремы о существовании [pic] следует ограниченность
интегральных сумм S.
Рассмотрим произвольную интегральную сумму:
[pic]
Так как f(x) неограничена на [a, b], то она также будет неограничена хотя
бы на одном из отрезков разбиения Т. Пусть для определённости это будет
отрезок [pic], [pic].
Так как интегральные суммы S ограничены, то [pic].
Зафиксируем данное разбиение Т, число i0 и все числа ?i , [pic],[pic].
Обозначим числом d сумму:
[pic]
Тогда[pic]. Так как[pic], то
[pic]
и, следовательно,
[pic]
для любой точки ?0([pic], о противоречит предположению о неограниченности
функции f(x) на [pic].
Теорема доказана.
Замечание. Условие ограниченности функции на отрезке [a, b] не является
достаточным. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле:
[pic]
на отрезке [0, 1].
Пусть для произвольного разбиения Т отрезка [0, 1] все ?i(Q, i = 1, ., n.
Тогда
[pic]
Если все ?i[pic]Q, i = 1, ., n, то
[pic]
Следовательно, не существует [pic] для функции Дирихле D(x).