Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/01.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:56:09 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:52:03 2012 Кодировка: koi8-r

Математический анализ.
2 семестр.
Интегрирование функции одного переменного.
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение: Функция F(x)=D(a,b) называется первообразной для функции
f(x) на (a,b), если F'(x)=f(x), [pic].
Пример 1.
Функция ln x есть первообразная для [pic], x>0, а функция ln(-x) есть
первообразная для [pic], x<0.
Пример 2.
Функция [pic] есть первообразная для f(x)=|x|, [pic]
Теорема 1. Если F(x) есть первообразная для f(x) на (a,b), то для любой
константы [pic]функция F(x) + c также есть первообразная для f(x) на (a,b).
Доказательство:
(F(x) + c)'=F'(x) + (c)' = F'(x)=f(x), [pic].
Следовательно, по определению первообразной функция F(x) + c есть
первообразная для f(x) на (a,b).
Теорема 2. Пусть F1(x) и F2(x) две различные первообразные для f(x) на
(a,b). Тогда [pic].
Доказательство:
(F1(x) - F2(x))' = (F1(x))' - (F2(x))' = f(x) - f(x) = 0, [pic].
По следствию из теоремы Лагранжа (см. 1 семестр): [pic] F1(x) - F2(x) =
c, [pic]

F1(x) = F2(x) + c.
Теорема доказана.
Следовательно, если F(x) - одна из первообразных для f(x) на (a,b), то
множество всех первообразных есть {F(x) + c, [pic]}.
Определение. Если у функции f(x) существует хотя бы одна первообразная
F(x) на (a,b), то неопределенным интегралом функции f(x) на (a,b)
называется множество всех первообразных функции f(x).
Неопределенный интеграл обозначается так: [pic]
Из доказанных теорем следует, что [pic] где F(x) - одна из первообразных,
а [pic]- произвольная константа.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1).[pic]
2). Замена переменной в неопределенном интеграле.
Пусть F(x) - первообразная для f(x) на (a,b), функция [pic]и [pic] [pic].
Тогда справедлива формула:
[pic]
Доказательство.
Докажем, что [pic] [pic].
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции [pic] [pic]
Следовательно, функция [pic] есть первообразная для [pic] на [pic].
Замечание. Формулу замены переменных следует понимать так: при замене
переменной [pic] множество первообразных для f(x) на (a,b) переходит во
множество первообразных для[pic] на [pic].
3). Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Пусть функции
u(x) и v(x) непрерывно диффенцируемы на (a,b). Тогда справедлива следующая
формула:
[pic]
Доказательство.
Доказательство существования первообразных для функций [pic] и [pic]
будет приведено в следующих параграфах (см.)
Пусть F1(x) и F2(x) соответственно некоторые первообразные для [pic] и
[pic].
Тогда по определению первообразной и правилу дифференцирования
произведения двух функций [pic]+[pic]=[pic], [pic].
Следовательно, по следствию из теоремы Лагранжа:
F1(x) + F2(x) = [pic]+ c, где c - некоторая константа, или F1(x) = [pic]-
F2(x).
Так как [pic]из данного равенства следует, что [pic]
Замечание: Формулу интегрирования по частям следует понимать так:
множество функций {F1(x) + C1}, стоящих в левой части равенства, совпадает
со множеством функций {[pic]- F2(x) + c3}, стоящих в правой части, где с3 =
с - с2, а с1 и с2 - произвольные числа.
4). Связь между дифференциалом и неопределенным интегралом.
Справедливы следующие равенства:
а) [pic]
б) [pic]
Эти равенства следуют из определений:
[pic]и [pic].
Основные формулы:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic], a>0, a?1
8. [pic], a?0
9. [pic], a?0
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15. [pic]
Примеры вычислений связанных с неопределенным интегралом
Пример 1.
Найти уравнение кривой, угловой коэффициент которой в точке (x,y) равен
[pic] если известно, что она проходит через точку (1,1).
Решение.
Если y=y(x) - уравнение искомой кривой, то угловой коэффициент в точке x
равен [pic]
Следовательно, имеет место равенство [pic]
Кроме того, по условию задачи: [pic]
Ответ: y=2x-x2
Замечание. Рассмотренный пример показывает, что неопределенная константа
c может быть вычислена, если задано значение первообразной в некоторой
точке x.
Пример 2.
Скорость химической реакции пропорциональна количеству вещества,
вступившего в реакцию. Найти функцию m(t), где t - время, а m(t) -
количество вещества, вступившего в реакцию в момент времени t, если задано:
m(0)=m0 и m(1)=m1.
Решение:
По условию задачи:
[pic] где k>0 - некоторая константа.
Это уравнение можно переписать так: [pic] или [pic][pic]
Используя условия: m(0)=m0 и m(1)=m1, получим равенство:
m0=ec и m1=e-k+c=m0ek.
Следовательно, окончательно получаем:
[pic].