|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного решения.
04.02.2010 01:02
|
|
|
Ищется численное решение такой вот задачи. Все индексированные коэффициенты и функции заданы. Начальные условия заданы. Подскажите пожалуйста методы, которые могли бы быть использованы при решении такой задачи. Все умные замечания и критика приветствуются.
Спасибо.
|
|
Basilio
|
|
GreenOne
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 14.10.2002
|
|
Сообщений: 13750
|
|
Из: Москва
|
|
Рейтинг: 3476
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Ezi]
04.02.2010 01:17
|
|
|
интегралы по иксу берутся? освободи плиз подынтегральную переменную от зависимости в уравнении. т.е. для правильности хочется увидеть примерно следующее:
первое уравнение такое?
![[math] $$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\alpha_1 f(x,y)+\alpha_2f^2(x,y)\int_{0}^{\infty} \phi_1(t)\psi(t,y)dt $$ [/math]](mathimg.php?math=%0D%0A%24%24%0D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%5Calpha_1%20f%28x%2Cy%29%2B%5Calpha_2f%5E2%28x%2Cy%29%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%0D%0A%5Cphi_1%28t%29%5Cpsi%28t%2Cy%29dt%0D%0A%24%24%0D%0A)
|
|
|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Basilio]
04.02.2010 01:47
|
|
|
Да, совершенно верно, я в самом деле умудрился забыть переменную интегрирования. Интегралы берутся по иксу. Эти два уравнения будут выглядеть так:
Прошу прощения за кривизну картинки - у меня шаблона не осталось в ворде.
|
|
|
Lehtym
|
|
демоверсия
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 06.12.2004
|
|
Сообщений: 332
|
|
Из: Shit Building
|
|
Рейтинг: 350
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Ezi]
04.02.2010 12:26
|
|
|
А какой вид у ![[math]$\phi_1$ [/math]](mathimg.php?math=%24%5Cphi_1%24%20) ?
Если хорошо убывает на бесконечности, то можно для начала попробовать что-нибудь самое примитивное, типа Эйлер + проинтегрировать трапециями в конечных пределах:
![[math]$\frac{f_{i, j+1} - f_{i, j}}{h_y}=\alpha_1 f_{i,j}+\alpha_2 f_{i,j}^2 h_x( \frac{1}{2}\phi_{1 0} \psi_{0, j}+\sum_{k=1}^{N-1} \phi_{1 k} \psi_{k,j}+\frac{1}{2}\phi_{1 N} \psi_{N, j})$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cfrac%7Bf_%7Bi%2C%20j%2B1%7D%20-%20f_%7Bi%2C%20j%7D%7D%7Bh_y%7D%3D%5Calpha_1%20f_%7Bi%2Cj%7D%2B%5Calpha_2%20f_%7Bi%2Cj%7D%5E2%20h_x%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cphi_%7B1%200%7D%20%5Cpsi_%7B0%2C%20j%7D%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN-1%7D%20%5Cphi_%7B1%20k%7D%20%5Cpsi_%7Bk%2Cj%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cphi_%7B1%20N%7D%20%5Cpsi_%7BN%2C%20j%7D%29%24)
Здесь
![[math] $f_{i, j}=f(i h_x, j h_y) $[/math]](mathimg.php?math=%20%24f_%7Bi%2C%20j%7D%3Df%28i%20h_x%2C%20j%20h_y%29%20%24)
PS. Но скорее всего такая схема развалится 
Редактировал Lehtym (04.02.2010 12:52)
|
|
|
halyavin
|
|
кфмн
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 14.12.2005
|
|
Сообщений: 916
|
|
Из: Moscow
|
|
Рейтинг: 622
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Ezi]
04.02.2010 14:27
|
|
|
Можно сразу сказать, что если ![[math]$\alpha_4<0$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Calpha_4%26lt%3B0%24) , то задача не корректная.
|
|
|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Lehtym]
04.02.2010 17:19
|
|
|
на самом деле все индексированные функции имеют сингулярность по иксу в нуле (точки разрыва 2-го рода). Что с этим делать я пока что еще думаю. Вероятно прийдется вводить какие-то ограничения на поведение искомых функций вблизи нуля и сшивать решения.
Выбор метода который "не развалится" и является основной проблемой )
P.S. да, все индексированные функции хорошо убывают на бесконечности так или иначе, если это действительно важно.
Редактировал Ezi (04.02.2010 17:31)
|
|
|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: halyavin]
04.02.2010 17:22
|
|
|
Из-за того что численными методами, дифурами и прочим, я занимался довольно давно - плохо понимаю почему именно задача не корректна при отрицательном значении этого коэффициента, если можно поясни.
А вообще первые два индексированных коэффициента отрицательны, вторые два -положительны, пятый и шестой - отрицательны.
Редактировал Ezi (04.02.2010 17:23)
|
|
|
Lehtym
|
|
демоверсия
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 06.12.2004
|
|
Сообщений: 332
|
|
Из: Shit Building
|
|
Рейтинг: 350
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Ezi]
04.02.2010 22:39
|
|
|
Больше подробностей о поведении индексированных функций в студию.
Например, если
![[math] $$\phi_1(x) \sim x^{-q},\quad x \to 0,\quad q>-1$$ [/math]](mathimg.php?math=%20%24%24%5Cphi_1%28x%29%20%5Csim%20x%5E%7B-q%7D%2C%5Cquad%20x%20%5Cto%200%2C%5Cquad%20q%26gt%3B-1%24%24%20)
![[math] $$\phi_1(x) \sim e^{-x},\quad x \to \infty$$ [/math]](mathimg.php?math=%20%24%24%5Cphi_1%28x%29%20%5Csim%20e%5E%7B-x%7D%2C%5Cquad%20x%20%5Cto%20%5Cinfty%24%24%20%20)
то можно провернуть что-то в духе
![[math] $$\int_0^\infty \phi_1(t)\psi(t,y) dt=\int_0^\infty (\phi_1(t)-t^{-q}e^{-t})\psi(t,y)dt + \int_0^\infty t^{-q}e^{-t}(\psi(t,y)-\psi(0,y) dt + \psi(0,y) \int_0^\infty t^{-q}e^{-t}dt $$ [/math]](mathimg.php?math=%20%0D%0A%24%24%5Cint_0%5E%5Cinfty%20%5Cphi_1%28t%29%5Cpsi%28t%2Cy%29%20dt%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%20%28%5Cphi_1%28t%29-t%5E%7B-q%7De%5E%7B-t%7D%29%5Cpsi%28t%2Cy%29dt%20%2B%20%5Cint_0%5E%5Cinfty%20t%5E%7B-q%7De%5E%7B-t%7D%28%5Cpsi%28t%2Cy%29-%5Cpsi%280%2Cy%29%20dt%20%2B%20%5Cpsi%280%2Cy%29%20%5Cint_0%5E%5Cinfty%20t%5E%7B-q%7De%5E%7B-t%7Ddt%20%24%24%0D%0A)
|
|
|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Lehtym]
05.02.2010 00:01
|
|
|
На самом деле в этой задаче индексированные функции могут быть заданы совсем по-разному в зависимости от выбранного приближения. Наиболее простой случай, но тем не менее не тривиально для меня разрешимый, когда все индексированные функции выражаются целочисленными отрицательными степенями (x). Так, например :
Редактировал Ezi (05.02.2010 00:03)
|
|
|
Lehtym
|
|
демоверсия
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 06.12.2004
|
|
Сообщений: 332
|
|
Из: Shit Building
|
|
Рейтинг: 350
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Ezi]
05.02.2010 00:43
|
|
|
Можно попробовать замену типа такой
![[math]$ \psi(x,y)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^q\xi(x,y)$[/math]](mathimg.php?math=%24%20%5Cpsi%28x%2Cy%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%2B1%7D%5Cright%29%5Eq%5Cxi%28x%2Cy%29%24)
|
|
|
sWIN
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 07.06.2005
|
|
Сообщений: 3808
|
|
|
|
Рейтинг: 5020
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Lehtym]
05.02.2010 01:25
|
|
|
Это к фи относится , я так понимаю ? или все же к пси ?
|
|
|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: sWIN]
05.02.2010 01:26
|
|
|
Ой, последний пост мой. Под логином соседа написал случайно.
|
|
|
Lehtym
|
|
демоверсия
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 06.12.2004
|
|
Сообщений: 332
|
|
Из: Shit Building
|
|
Рейтинг: 350
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: sWIN]
05.02.2010 01:27
|
|
|
Фи заданы, пси ищем. К пси конечно.
|
|
|
Ezi
|
|
achtung-style
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.12.2005
|
|
Сообщений: 1395
|
|
|
|
Рейтинг: 368
|
|
Re: Задача математической физики. Нужны идеи по поиску численного реше
[re: Lehtym]
05.02.2010 01:29
|
|
|
А , все, понял. Спасибо. Попробую.
|
|
Список
Плоский
Дерево
