Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынках - Public forum of MSU united student networks

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.snto-msu.net/showflat.php?Number=8419361&src=arc&showlite=
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Wed Apr 13 10:18:31 2016
Кодировка: Windows-1251

Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынках - Public forum of MSU united student networks

Root \| Google \| Yandex \| Mail.ru \| Kommersant \| Afisha \| LAN Support

Список форумов | Поиск | Новый пользователь | Вход | Кто в онлайне | FAQ | Пользователи

General Discussion >> Study (Archive)

Страницы: 1

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынках
05.03.2009 12:00

1

Применительно к модели Блэка-Шоулса: если мы рассматриваем приращения винеровского процесса за время h, то следующие величины - приращения процесса

имеют нормальное распределение с математическим ожиданием ah и дисперсией сигма в квадрате, умноженная на h.
Как же так? Ведь приращения винеровского процесса имеют нулевое среднее!
Если у нас есть винеровский процесс W(t), то W(t)-W(s) имеет нормальное распределение с параметрами 0 и t-s. Насчет дисперсии понятно, можно просто нормировать, разделив приращения на сигма. Но куда деть матожидание? Что в модели Блэка-Шоулса в действительности является винеровским процессом?

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
05.03.2009 13:14

1

Вообще-то, формула Блека-Шоулза предполагает, что цены подчиняются обобщенному винеровскому процессу $[math]$dx=a\,dt+b\,dz$[/math]$ , где $[math]$dz$[/math]$ - винеровский процесс с параметрами 0 и 1.

Наверное, неявно предполагают, что если $[math]$h$[/math]$ - мало, то среднее $[math]$ah$[/math]$ по порядку меньше волатильности (=стандартное отклонение) $[math]$\sigma\sqrt{h}$[/math]$ и им можно пренебречь

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 10:13

Для обобщенного винеровского процесса свойство приращений будет уже другим?
Под х подразумевается цена акции или ее логарифм?

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
06.03.2009 10:41

Здесь под $[math]$x$[/math]$ подразумевается цена, т.е. если $[math]$S_t$[/math]$ - цена в момент времени $[math]$t$[/math]$ , то бесконечно малое приращение $[math]$dS_t$[/math]$ цены $[math]$S_t$[/math]$ за бесконечно малое время $[math]$dt$[/math]$ имеет вид $[math]$dS_t=aS_t\,dt+\sigma S_t\,dz$[/math]$ .
В пределе при $[math]$h\to 0$[/math]$ нормальность $[math]$\Delta_h \ln S_t :=\ln S_{t+h}-\ln S_t$[/math]$ и нормальность $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ совпадают, ибо если обозначить через $[math]$\delta$[/math]$ отношение $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ , то
$[math]$$\ln S_{t+h}-\ln S_t = \ln \frac{S_t+S_{t+h}-S_t}{S_t}=\ln (1+\delta) = \delta - \frac{1}{2}\delta^2+=\ldots=\delta+o(\delta)$$[/math]$ .
Т.е. если $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ распределено нормально с параметрами $[math]$a$[/math]$ и $[math]$\sigma^2$[/math]$ , то $[math]$\Delta_h \ln S_t$[/math]$ распределено так же

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 10:48

С винеровским процессом мне теперь все понятно. Осталось только непонятным, почему нормальное распределение имеют не приращения процесса S_{t+h}-S_t, а приращения, деленные на S_t? Потому что это обобщенный винеровский процесс?

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 10:53

Если $[math]$x$[/math]$ - стандартный винеровский процесс с параметрами 0 и 1, то обобщенный - это процесс $[math]$z$[/math]$ для приращений которого
$[math]$dz=a\,dt+b\,dx$[/math]$ и они независимы. Используя независимость, получаем, что за малое время $[math]$\delta t$[/math]$ приращение $[math]$\delta z=a\delta t + b\delta t$[/math]$ имеет нормальное распределение со средним $[math]$a\delta t$[/math]$ и дисперсией $[math]$b^2\delta t$[/math]$ .

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
06.03.2009 10:59

Предполагается, что нормальность процентного изменения $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ "более-менее" описывает поведение цены. А с точностью до малых большего порядка $[math]$\ln S_{t+h}-\ln S_t$[/math]$ и $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ есть одно и то же

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 11:05

С логарифмами все понятно

С обобщенным винеровским процессом - тоже. Только один вопрос остался: почему нормальное распределение имеют величины

, ведь по свойствам винеровского процесса нормальное распределение имеет только числитель этой дроби?

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
06.03.2009 11:21

Ну да, но это ничего не даст для практики. Конечно, если рассмотреть фиксированный момент $[math]$t$[/math]$ и цену $[math]$S_t$[/math]$ , то малое приращение $[math]$\delta S_t=S_{t+h}-S_t$[/math]$ имеет нормальное распределение с параметрами $[math]$aS_t\delta t$[/math]$ и $[math]$b^2S_t^2\delta t$[/math]$ , но все это при малом $[math]$h$[/math]$ и больше этого в принципе ничего не получается, но если взять процентное изменение $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ вместо обычного приращения $[math]$S_{t+h}-S_t$[/math]$ (то есть от цен акций переходить к доходностям), то за малое время $[math]$\delta t$[/math]$ процентное изменение $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ имеет распределение с параметрами $[math]$a\delta t$[/math]$ и $[math]$b^2\delta t$[/math]$

В чем суть? Распределение $[math]$\frac{S_{t+h}-S_t}{S_t}$[/math]$ - стационарно (при предположениях, что волатильность (=стандартное отклонение) не меняется со временем (хотя это неверно, но для лекций этого достаточно

) и снос $[math]$a$[/math]$ не меняется со временем) - т.е. распределение не меняется со временем.
Если же взять $[math]$S_{t+h}-S_t$[/math]$ , то у него получается нормальность с параметрами $[math]$aS_t\delta t$[/math]$ и $[math]$b^2S_t^2\delta t$[/math]$ - меняется с изменением цены

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 11:50

У меня были ошибочные представления о винеровском процессе, значит.

То есть если у нас есть обобщенный винеровский процесс

с параметрами a и b, то при известном состоянии

в момент t имеется в виду условное распределение, которое будет иметь параметры не 0 и

, не

и

, а именно

и

?

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
06.03.2009 12:19

Че-то я не понял смысл вопроса..

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 12:32

Мне не очень понятно, почему в параметры нормального распределения приращений S_{t+h}-S_t влезло S_t... То, что у стандартного винеровского процесса параметры будут 0 и h это ясно, мне непонятно, почему у обобщенного они умножаются не просто на a и b, а еще и на S_t.

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
06.03.2009 13:01

Потому что мы постулируем: $[math]$dS_t=aS_t\,dt + \sigma S_t\,dz$[/math]$ , $[math]$a,\ b$[/math]$ - постоянные, $[math]$S_t$[/math]$ - фиксировано в моменте. Это означает, что $[math]$S_{t+\delta t}-S_t=aS_t\delta t+\sigma S_t\delta z$[/math]$ (при $[math]$\delta t\to 0$[/math]$ . Так как $[math]$\delta z \sim N(0, \delta t)$[/math]$ , то $[math]$S_{t+\delta t}-S_t\sim N(aS_t\delta t, \sigma^2S_t^2\delta t)$[/math]$

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
06.03.2009 13:58

То есть здесь

(как ты пишешь в одном из первых постов) а и сигма - на самом деле не константы, а линейные функции S_t?

Virodbuc

Рег.: 06.01.2008

Сообщений: 180

Рейтинг: 74

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Anonymous]
06.03.2009 14:25

1

Я искренне извиняюсь, я напутал. Моя вина

Если $[math]$z$[/math]$ - винеровский процесс с параметрами $[math]$a$[/math]$ и $[math]$b^2$[/math]$ , то $[math]$dz=a\,dt+b\,dx$[/math]$ , где $[math]$x$[/math]$ - стандартный винеровский процесс с параметрами 0 и 1. И плюс, в винеровском процессе предполагается, что $[math]$a,b$[/math]$ - константы.
Если $[math]$a$[/math]$ и $[math]$b$[/math]$ - есть функции от $[math]$S_t$[/math]$ и $[math]$t$[/math]$ - то это уже не винеровский процесс! Это называется процессом Ито.
Так что исправляюсь: цена ведет себя как процесс Ито, а процентное изменение - как обобщенный винеровский процесс.

Anonymous

Незарегистрирован

(172.16.47.207)

Re: Винеровский процесс в применении к ценам акций на финансовых рынка [re: Centauri]
09.03.2009 13:43

Огромное спасибо!!!

Все понятно теперь!

Страницы: 1

General Discussion >> Study (Archive)

Дополнительная информация
1 зарегистрированных и 0 анонимных пользователей просматривают этот форум. Модераторы: Basilio, The_Nameless_One Печать темы	Права Вы можете создавать новые темы Вы можете отвечать на сообщения HTML отключен UBBCode включен	Рейтинг: Просмотров темы:
		Переход в