|
|
пространство функций ограниченной вариации - банахово?
11.06.2008 22:43
|
|
|
||f||=Var f.
чтобы ||f||=0 => f=0 добавим условие, что f(0)=0.
так воот, пространство функций огр вар и в нуле равных нулю - является ли такое пространство банаховым по норме Varf?
|
|
|
Skywalker
|
|
virtual
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 05.05.2005
|
|
Сообщений: 191
|
|
Из: Zurich
|
|
Рейтинг: 238
|
|
Re: пространство функций ограниченной вариации - банахово?
[re: Anonymous]
11.06.2008 23:23
|
|
|
Ну да, является вроде.
1) Если последовательность функций фундаментальна по вариации, то она сходится поточечно: ![[math]$|f_n(x) - f_m(x)| = |(f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(0) - f_m(0))| \leq Var_{[0,x]}(f_n - f_m) \to 0$[/math]](mathimg.php?math=%24%7Cf_n%28x%29%20-%20f_m%28x%29%7C%20%3D%20%7C%28f_n%28x%29%20-%20f_m%28x%29%29%20-%20%28f_n%280%29%20-%20f_m%280%29%29%7C%20%5Cleq%20Var_%7B[0%2Cx]%7D%28f_n%20-%20f_m%29%20%5Cto%200%24)
2) Вариации фундаментальной последовательности функций ограничены в совокупности какой-то С (очевидно)
3) Пусть f --- функция, к которой поточечно сходится наша последовательность. Тогда для любого разбиения T из N точек, т.к. оно конечно, найдется некоторая функция f_T из последовательности, которая во всех точках T отличается от f менее, чем на эпсилон/2N, тогда
![[math]$\sum_{i=1}^{N-1} |f(x_{i+1}) - f(x_i)| \leq \sum_{i=1}^{N-1} |f_T(x_{i+1}) - f_T(x_i)| + \varepsilon$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN-1%7D%20%7Cf%28x_%7Bi%2B1%7D%29%20-%20f%28x_i%29%7C%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN-1%7D%20%7Cf_T%28x_%7Bi%2B1%7D%29%20-%20f_T%28x_i%29%7C%20%2B%20%5Cvarepsilon%24) , поэтому вариация f тоже ограничена.
upd: Да, в первом пункте лажа была, сорри:)
|
|
|
|
Re: пространство функций ограниченной вариации - банахово?
[re: Skywalker]
11.06.2008 23:43
|
|
|
спасиб!!
впункте 1 немного неточно, но понятно, что имелось ввиду.
да, быстро на флокале рюхают))
|
|
Список
Плоский
Дерево
