Заседание семинара по социофизике

Доклад д.ф.-м.н., проф. В.А.Зорича
(механико-математический факультет МГУ)

Принцип концентрации меры и
его проявления в математике и физике

Аннотация доклада

Разнородные факты (из статистической физики, теории вероятностей, теории динамических систем, геометрии, анализа), которые будут фигурировать в докладе, по сути своей известны в отдельности. Все, что мы делаем, состоит в их интерпретации и обсуждении как проявления одного явления концентрации меры, возникающего в многомерных пространствах и относящегося к функциям очень большого числа переменных. Такие функции имеют тенденцию быть почти постоянными с точки зрения наблюдателя.

Мы поясним, почему любая более или менее регулярная функция на многомерной сфере почти постоянна в том смысле, что если взять случайно и независимо пару точек сферы и подсчитать значения функции в этих точках, то они с большой вероятностью окажутся почти совпадающими.

Человеку, привыкшему к функциям одной, двух и нескольких (не очень многих) переменных, это может показаться неправдоподобным. Но именно это обеспечивает стабильность основных параметров среды нашего обитания (температуры, давления,...), лежит в основе статистической физики, изучается в теории вероятностей под названием законов больших чисел и имеет много применений (например, при передаче информации по каналу связи при наличии помех), а также заменяет эргодическую гипотезу там, где реально нужна лишь концентрация меры и плотности распределения вероятностей.

Первоисточники можно найти в библиографии к теме II книги В.А.Зорич, Математический анализ задач естествознания, М., Изд.МЦНМО, 2008.