Совокупность m функций, определенных на одном и том же множестве элементарных событий, называется m - мерной случайной величиной . Многомерная случайная величина полностью определяется ее функцией распределения вероятностей

1. 0£ F(x₁,:,x_m)£ 1;

2. F(x₁,:,x_m) не убывает по каждому аргументу;

3. ;

4. ;

5. 

где F(x_i) - функция распределения одномерной случайной величины .

Одномерные случайные величины и называются независимыми, если их совместная (двумерная) функция распределения равна произведению одномерных функций распределения

заданных для любой комбинации значений случайных величин . Функция распределения в этом случае выражается через вероятности следующей формулой:

Рассмотрим в качестве примера двумерную случайную величину , принимающую значения (x_i, у_j), i=1,:,k, j=1,:,l. Вероятности всех возможных пар значений (x_i, у_j) можно представить в виде таблицы:

	y1		yj		Yl	Итог
x1	p11		p1j		p1l	p1.
:
xi	pi1		pij		pil	pi.
:
xk	pk1		pkj		pkl	pk.
Итог	p.1		p.j		p.l

Итоговый столбец определяет одномерное (маргинальное) распределение случайной величины , а итоговая строка - одномерное (маргинальное) распределение случайной величины .

Если разделить все вероятности j - го столбца на итоговую вероятность , то получим условные вероятности значений при условии :

,

определяющие условное распределение случайной величины при фиксированном значении другой случайной величины равном y_j. Аналогично определяется условное распределение при заданном значении .

Если для любых , то случайные величины и являются независимыми.

Многомерная случайная величина называется непрерывной, если непрерывна ее функция распределения и существует непрерывная почти всюду функция плотности , такая, что

Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину с плотностью f(x, у) и функцией распределения F(x, у). Одномерное (маргинальное) распределение получается путем интегрирования по у двумерной плотности

Условная плотность случайной величины при заданном значении случайной величины задается формулой

откуда .

Аналогично условное распределение задается формулой

откуда .

Характеристикой связи случайных величин и является коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется

где - ковариация и . Если , то случайные величины и называются некоррелированными.

1. Для любых случайных величин и .

2. Если и - независимые случайные величины, то (обратное, вообще говоря, неверно).

3. или -1тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью

Двумерным нормальным распределением называют распределение вероятностей двумерной непрерывной случайной величины , если функция плотности имеет вид

где - некоторые параметры. Можно доказать, что и - нормально распределенные случайные величины, - их математические ожидания и дисперсии, а - коэффициент корреляции случайных величин и .

Действительно, если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины и некоррелированы, то . Тогда функция плотности равна

Пусть у нас имеются п случайных величин . Рассмотрим новую случайную величину , где - некоторая функция. Тогда функция распределения случайной величины задается (в случае, когда - непрерывные случайные величины) формулой

где - функция плотности n - мерной случайной величины , а - область n - мерного пространства такая, что .

Предположим теперь, что . Тогда, как нетрудно проверить, воспользовавшись свойствами математического ожидания и дисперсии,

Пусть теперь независимы и одинаково распределены. Обозначим , тогда .

Если мы теперь дополнительно предположим, что каждая случайная величина , то можно доказать, что случайная величина нормально распределена и, следовательно, .

1. Компьютерная Биометрика. М., МГУ, 1990.

2. Голикова Т. Никитина Е., Терехин А., Математическая статистика. М., МГУ, 1981.

3. Гмурман В., Теория вероятностей и математическая статистика. М.: 'Высшая школа', 1977.

4. Мешалкин Л., Сборник задач по теории вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1963.

5. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1, М.: Мир, 1964; Т.2. М.: Мир, 1967.