Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/pcm/pcm05_61.pdf Дата изменения: Tue Oct 18 16:12:52 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:11:27 2016 Кодировка: Windows-1251

Н.В.Емельянов
ПРАКТИЧЕСКАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Оглавление. Глава 5.
Построение моделей движения небесных тел на основе наблюдений. 5.61. Вычисление измеряемых величин и частных производных от измеряемых величин по уточняемым параметрам. 5.61.1. Порядок вычисления измеряемых величин и производных от измеряемых величин по уточняемым параметрам.

В процессе дифференциального уточнения параметров движения небесных тел из наблюдений требуется вычислять значения измеряемых величин и частных производных от измеряемых величин по уточняемым парамематрам на моменты наблюдений. Эти вычисления делаются на основе принятого закона движения небесных тел. Закон движения описывается в какой-либо системе координат. Чаще всего это прямоугольные координаты x, y , z . Таким образом, в методе дифференциального уточнения параметров движения измеряемая величина , как функция уточняемых параметров p1 , p2 , ..., pn , является сложной функцией. Она представляется первоначально как функция от прямоугольных координат небесного тела, которые в свою очередь в силу закона движения являются функциями времени t и параметров движения. Зависимость (x, y , z ) не связана с законом движения небесного тела, однако она может включать в себя время t и некоторые параметры, которые также могут рассматриваться как уточняемые. В отличие от параметров движения небесного тела назовем их параметрами условий наблюдений. Функция (x, y , z ) определяется только выбором измеряемой величины. В астрономической практике используется большое множество величин, измеряемых в процессе наблюдений. В следующем параграфе рассматриваются некоторые из них, и даются явные выражения для функции (x, y , z ). Вычисление координат небесного тела x, y , z делается либо по формулам построенной заранее аналитической теории движения, либо на основе численного интегрирования уравнений движения. 1


Частные производные от измеряемых величин по уточняемым парамематрам на моменты наблюдений вычисляются на основе рассмотренных выше зависимостей. Так как промежуточными величинами являются координаты небесного тела x, y , z , то для искомых производных можно записать следующие соотношения: x y z p1 p1 p1 p1 x y z x p2 p2 p2 p2 . B = y . (1) ... = K ћ B , K = ... ... ... z y
p
n

x pn

pn

z pn

Как видно из этих соотношений, вычислительная задача разделяется на две независимые части. В первой из них находятся значения частных прозводных от прямоугольных координат по параметрам движения небесного тела. Во второй производные от измеряемой величины по прямоугольным координатам небесного тела. В соответствие с этим назовем матрицу K матрицей параметров, так как она зависит только от выбора уточняемых параметров p1 , p2 , ..., pn . Вектор-столбец B назовем вектором функции, он определяется выбором измеряемой функции (x, y , z ). Вектор функции B вычисляется по формулам, получаемым дифференцированием явного выражения для (x, y , z ). Вычисление матрицы параметров K может выполняться для каждого момента наблюдений как по формулам, следующим из теории движения, так и в процессе численного интегрирования дифференциальных уравнений, специально построенных для частных производных от координат по параметрам движения. В последнем случае элементы матрицы K называют изохронными производными, а дифференциальные уравнения для них интегрируют совместно с уравнениями движения. Формулы для вычисления матрицы K в случаях использования формул аналитической теории движения и дифференциальные уравнения для изохронных производных в конкретных задачах рассматриваются в следующих параграфах.

2


5.61.2. Дифференциальные уравнения для изохронных производных в некоторых конкретных случаях. 5.61.2.1. Дифференциальные уравнения для изохронных производных в задаче трех тел. Уточнение параметров движения возмущаемого тела.

Рассмотрим процедуру дифференциального уточнения параметров движения в случае задачи трех тел. Поскольку точного аналитического решения задачи трех тел до сих пор не найдено, уравнения движения в этой задаче решаются методами численного интегрирования. В качестве параметров движения в этом случае чаще всего рассматривают начальные условия, то есть значения координат на некоторый начальный момент времени t0 . В рассматриваемой задаче определяются параметры движения второго тела относительно первого из наблюдений второго тела. Движение происходит под возмущающим действием третьего тела, движение которого задано координатами, как функциями времени. В общем случае могут определяться из наблюдений параметры движения второго и третьего тела в едином процессе дифференциального уточнения. Тогда уравнения движения и изохронные производные второго и третьего тел интегрируются совместно. Тела будем считать материальными точками. Начало системы невращающихся прямоугольных координат поместим в первое из тел. Координаты второго тела, движение которого изучается, обозначим через x1 , x2 , x3 . Координаты третьего, возмущающего тела обозначим через x , x , x . 3 2 1 Уравнения движения второго тела в принятых обозначениях запишутся в виде ) ( d2 xi xi xi - x x i = -f m 3 - f m + i = Fi (i = 1, 2, 3) , (2) 2 3 dt r r3 где f гравитационная постоянная, m масса первого тела, m масса возмущающего тела. Кроме того, мы используем следующие обозначения: 2 + x2 + x2 , r = r = x1 x 2 + x 2 + x 2 , 2 3 2 3 1 = (x1 - x )2 + (x2 - x )2 + (x3 - x ). 2 3 1 Уравнения движения третьего тела могут быть записаны аналогично. 3


Заметим, что приводимые ниже формулы будут пригодны и для более общего случая, когда координаты возмущающего тела вычисляются на основе более сложной модели, учитывающей влияние других тел. Параметрами изучаемого движения второго тела будут начальные условия, то есть координаты и компоненты скорости

x

(0) 1

,x

(0) 2

,x

(0) 3

, x1 , x

(0)

(0) 2

, x3 ,

(0)

заданные на момент времени t0 . Искомые частные производные, необходимые для дифференциального уточнения параметров, образуют матрицу x x x

K=

x

1 (0) 1

x

2 (0) 1

x

3 (0) 1

x1 (0) x2 x1 (0) x3 x1 (0) x1 x1 (0) x2 x1 (0) x3

x2 (0) x2 x2 (0) x3 x2 (0) x1 x2 (0) x2 x2 (0) x3

x3 (0) x2 x3 (0) x3 x3 (0) x1 x3 (0) x2 x3 (0) x3

.

(3)

Для элементов этой матрицы можно составить дифференциальные уравнения путем дифференцирования левых и правых частей уравнений (2) по параметру. Выполняя последовательно эту операцию для каждого из параметров, получим следующую систему уравнений: ( ) 3 2 Fi x n d xi = , (4) dt2 x(0) xn x(0) n=1 j j ) ( 3 Fi x n d2 xi = , (5) dt2 x(0) xn x(0) n=1
j j

(i, j = 1, 2, 3),
где

Fi 1 = fm 3 xn r

(

3 xi xn - in r2

)

] [ 1 3 + fm 3 (xi - xi )(xn - xn ) - in , 2


4


{
in

=

1 при i = n 0 при i = n

При этом численное интегрирование уравнений (4) и (5) следует выполнять совместно с уравнениями (2). Начальные условия для уравнений (4) и (5) определятся матрицами 100 0 1 0 0 0 1 K0 = K |t=t0 = (6) , 0 0 0 0 0 0 000

=

00 00 00 10 01 00

0



K0 = K |t

=t

0

0 0 . 0 0 1

(7)

5.61.2.2. Дифференциальные уравнения для изохронных производных в задаче трех тел. Уточнение массы возмущающего тела.

Рассмотрим движение второго из трех тел под действием притяжения первого тела и возмущающим влиянием третьего тела. Из наблюдений движения второго тела можно определять параметры его движения. Кроме того совместно с начальными условиями второго тела можно определять массу возмущающего тела. Такое определение следует делать обязательноо совместно, поскольку при коррекции массы возмущающего тела параметры движения второго тела будут уже другими. В такой задаче уточняемыми параметрами будут начальные условия, то есть координаты и компоненты скорости

x

(0) 1

,x

(0) 2

,x

(0) 3

, x1 , x
5

(0)

(0) 2

, x3 ,

(0)


заданные на момент времени t0 для второго тела и масса m возмущающего тела. В этом случае к матрице (3) нужно добавить еще одну строку ( x ) x2 x3 1 . (8) m m m Для элементов этой строки можно составить следующие дифференциальные уравнения:

d2 dt2

(

xi m

) =-

(

xi - x x i + i 3 r3

)

3 Fi xn , + xn m n=1

(9)

Тогда нужно интегрировать совместно уравнения движения (2), уравнения (4), (5) и (9). Начальными условиями для переменных (8) будут
x1 m d dt

= 0,
d dt

(

x1 m

)

= 0,

x = 0, m3 = 0, ( x2 ) ( x ) d = 0, dt m3 = 0. m

x2 m

(10)

5.51.2.3. Дифференциальные уравнения для изохронных производных в задаче о движении спутника сжатой планеты.

Рассмотрим процедуру дифференциального уточнения параметров движения спутника в случае учета возмущений от несферичности планеты. В этой задаче возмущения элементов промежуточной орбиты спутника могут определяться методами теории возмущений в аналитическом виде. Однако уравнения движения спутника могут также решаться численным интегрированием. В таком случае в качестве параметров движения рассматривают начальные условия, то есть значения координат на некоторый начальный момент времени t0 . Силовую функцию притяжения несферичной планеты используют в форме разложения в ряд по шаровым функциям. Это разложение подробно рассмотрено в параграфе 2.52 . Поскольку разложение силовой функции в этом случае записывается в системе координат, связанной с осью симметрии сжатого тела, то мы должны выбрать плоскость (x1 , x2 ) параллельной плоскости экватора планеты. Возьмем в разложении только главный член, описывающий динамическое сжатие планеты, а именно вторую зональную гармонику. Для других членов разложения уравнения для изохронных производных могут быть выведены аналогично. 6


Прямоугольные планетоцентрические координаты спутника обозначим через x1 , x2 , x3 . Уравнения движения с учетом второй зональной гармоники разложения силовой функции притяжения планеты запишем в следующей форме: (2 ) 2 d2 xi xi 3 r0 x3 (11) = -f m 3 + f mJ2 5 xi 5 2 - ei = Fi (i = 1, 2, 3) , dt2 r 2 r r где f гравитационная постоянная, m масса планеты, J2 коэффициент при второй зональной гармонике разложения силовой функции притяжения планеты, r0 средний экваториальный радиус планеты. Кроме того, мы используем следующие обозначения: r = x2 + x2 + x2 , 1 2 3

e1 = 1, e2 = 1, e3 = 3.
Параметрами изучаемого движения спутника будут начальные условия, то есть координаты и компоненты скорости

x

(0) 1

,x

(0) 2

,x

(0) 3

, x1 , x

(0)

(0) 2

, x3 ,

(0)

заданные на момент времени t0 . Искомые частные производные, необходимые для дифференциального уточнения параметров, образуют матрицу вида (3). Для элементов этой матрицы можно составить дифференциальные уравнения путем дифференцирования левых и правых частей уравнений (11) по параметру. Выполняя последовательно эту операцию для каждого из параметров, получим следующую систему уравнений: ( ) 3 2 Fi x n d xi = , (12) dt2 x(0) xn x(0) n=1 j j ( ) 3 Fi x n d2 xi = , (13) dt2 x(0) xn x(0) n=1
j j

(i, j = 1, 2, 3),
В данном случае имеем

Fi 1 = fm 3 xn r

(

3 xi xn - r2
7

)
in

+


3 r + f mJ2 2 r

2 0 5

[( 2 ) x3 5 2 - ei r

in

x3 xi xi xn x2 3 - 35 4 xi xn + 10 2 fn + 5 2 e r r r

]
i

, (14)

где введено обозначение

f 1 = 0 , f2 = 0 , f3 = 1 .
Начальными условиями при интегрировании уравнений (12) и (13) следует взять (6), (7). Заметим, что в случае, когда одновременно учитывается возмущающее влияние третьего тела и сжатия планеты, системы координат для переменных в уравнениях (2) и (11) могут быть различными. Это различие нужно учитывать также в уравнениях для изохронных производных.
Частные производные от правых частей уравнений движения при учете возмущений от четвертой зональной гармоники разложения силовой функции притяжения несферичной планеты

В обозначениях, принятых выше, правые части уравнений имеют вид ( ) xi x2 xi x4 xi Fi = A ai 7 + bi 39 + c 311 , r r r где 5 4 A = Gmr0 J4 , 8 a1 = 3, , a2 = 3, , a3 = 15, ,

b1 = -42, , b2 = -42, , b3 = -70, , c = 63,
Частные производные по координатам найдутся в виде ( ) Fi (1) (2) (3) = A ai Fin + bi Fin + cFin , xn где

in - r7 x2 in 9x2 xi (2) 3 Fin = - 3 11 9 r r x4 in 11x4 xi (3) 3 3 Fin = 11 - r r13 Fin =
(1)

7xi xn r9 xn 2x3 xi + fn 9 r xn 4x3 xi 3 + fn 11 . r

8


Литература

1. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 2. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. 3-е изд. М.: Наука, 1969. 3. Емельянов Н.В. Методы составления алгоритмов и программ в задачах небесной механики. М.: Наука, 1983.

9