Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/pcm/pcm02_33.pdf Дата изменения: Thu Sep 20 14:15:03 2007 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:08:58 2016 Кодировка: Windows-1251

Н.В.Емельянов

ПРАКТИЧЕСКАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Оглавление. Глава 2. Простейшие механические модели в небесной механи-

ке.

2.33. Задача двух неподвижных центров.
Задача двух неподвижных центров состоит в изучении движения пассивно гравитирующей материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными точечными массами по закону Ньютона. Неподвижные точечные массы называются притягивающими центрами. В прямоугольной барицентрической системе координат Oxy z с началом в центре масс O неподвижных точек с массами m1 и m2 и с осью абсцисс, проходящей через эти точки, дифференциальные уравнения движения пассивно гравитирующей материальной точки (пренебрежимо малой или нулевой массы) и силовая функция U задачи имеют вид:

Общие сведения.

d2 x dU = , dt2 dx

d2 y dU = , dt2 dy

d2 z dU = , dt2 dz

U=G

m1 m2 + . r1 r2

Здесь x, y , z координаты пассивно гравитирующей материальной точки, G гравитационная постоянная, m1 и m2 массы неподвижных притягивающих точек, r1 и r2 расстояния от движущейся точки до притягивающих центров:

r1 =

(x - x1 )2 + y 2 + z 2 , x1 = -

r2 =

(x - x2 )2 + y 2 + z 2 ,

2 c m2 2 c m1 , x2 = , m1 + m2 m1 + m2 где c постоянная, равная половине расстояния между притягивающими центрами.
1


Задача двух неподвижных центров относится к интегрируемым задачам небесной механики. Решение этой задачи можно получить в квадратурах методом Гамильтона-Якоби. Решение задачи двух неподвижных центров может применяться при изучении движения малого тела солнечной системы в окрестности планеты. Орбиту пассивно гравитирующей материальной точки, определяемую решением задачи двух неподвижных центров, можно рассматривать как промежуточную или невозмущенную орбиту в ограниченной задаче трех тел, используя метод вариации произвольных постоянных. Интегрирование уравнений движения пассивно гравитирующей материальной точки с нулевой массой удобнее выполнять в эллипсоидальных координатах , ч, w, связанных с введенными ранее прямоугольными координатами x, y , z с помощью следующих соотношений:

Решение задачи двух неподвижных центров.

x = cч +
2

c (m1 - m2 ) , m1 + m2 ч2 ч2 ) cos w, ) sin w,

+1 < + -1 ч +1

y = c ( - 1)(1 - z = c ( - 1)(1 -
2

0 w 2

Силовая функция и расстояния до притягивающих центров в новых переменных будут иметь вид:

U=

G (m1 + m2 ) - (m1 - m2 )ч ћ , c 2 - ч2 r1 = c ( + ч), r2 = c ( - ч),

где G гравитационная постоянная, c постоянная, равная половине расстояния между притягивающими центрами. Используя выражение для кинетической энергии T :

T=

12 c2 (2 - ч2 ) 2 ч2 (x + y 2 + z 2 ) = + + 2 4 2 - 1 1 - ч2 + c2 (2 - 1)(1 - ч2 )w2 , 2

2


в котором использованы общепринятые обозначения для производных от координат по времени, введем обобщенные импульсы , ч , w обычными формулами: T c2 2 - ч2 = = ћ , 2 2 - 1 T c2 2 - ч2 ч= = ћ ч, ч 2 1 - ч2

T = c2 (2 - 1)(1 - ч2 )w. w Уравнения движения точки с нулевой массой в канонических переменных , ч, w, , ч , w w=
определяются системой Гамильтона:

H d = , dt dч H = , dt ч dw H = , dt w с характеристической функцией

H d =- , dt dч H =- , dt ч dw H =- dt w

1 1 - ч2 2 1 2 - 1 2 H= 2ћ 2 + 2ћ 2 ч+ c - ч2 c - ч2 w G (m1 + m2 ) - (m1 - m2 )ч +22 -ћ . 2c ( - 1)(1 - ч2 ) c 2 - ч2
Эта система интегрируется методом Гамильтона-Якоби и имеет первые интегралы
2

d = dt
где

() , J

dч = dt J=

F (ч) , J

dw 3 =22 , dt c ( - 1)(1 - ч2 )

r1 r2 1 = c2 (2 - ч2 ), 2 2

12 () = hc2 4 + Gc(m1 + m2 )3 + (2 - hc2 )2 - Gc(m1 + m2 ) - 3 - 2 , 2
3


12 F (ч) = hc2 ч4 + Gc(m1 - m2 )ч3 + (2 + hc2 )ч2 - Gc(m1 - m2 )ч - 3 - 2 , 2 где через h, 2 , 3 обозначены постоянные интегрирования. Вводя новую независимую переменную , связанную со временем t дифференциальным соотношением dt = J d ,
решение задачи двух неподвижных центров можно записать в виде следующих квадратур:

d () 3 2

= + C1 ,

dч F (ч)

= + C2 ,

2 - ч2 d = w + C3 , (2 - 1)(1 - ч2 )

где C1 , C2 , C3 постоянные интегрирования. После обращения эллиптических интегралов находят функции ( ), ч( ), w( ), как эллиптические функции вспомогательной переменной , а после решения дифференциального уравнения для t:

dt = J (, ч) d
получаем связь со временем t. Общее решение задачи двух неподвижных центров зависит от шести произвольных постоянных. Более подробно исследовано движение в плоскости, содержащей неподвижные центры. Получены явные выражения для эллипсоидальных координат точки в зависимости от , из которых следует, что и ч всегда являются периодическими функциями . В зависимости от соизмеримости периодов этих функций, движение будет либо периодическим по по замкнутой орбите, либо условно-периодическим по траектории, заполняющей всюду плотно некоторую область пространства , ч. В общем случае пространственных движений явные выражения для эллипсоидальных координат точки в зависимости от не получены.

4


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. Учебное пособие для студентов университетов. Издание 2-е, переработанное. 1978. Наука. Москва. С. 456.

5