Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.protein.bio.msu.ru/~akula/Transfitite.pdf Дата изменения: Thu Jan 22 19:54:26 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:43:03 2016 Кодировка:

4 (63)



2014

510.21+510.222+510.227 ­ ..
. , , . , , , . : , , ,

, , , . XX . , . , , , .. XIX . . - , . , , , . , , . . .
.., 2014


42

..

, , . . , . , . , XIX ., , , (). : « , » [1]; « » [2]. , , , () , . 1-3 «» , . . XVII­XIX ., , . , n/(n+1), n , 1, , 1. [3], ,


­

43

, , n . : , +1, ..., 2, 2+1, ..., m, m +1, ..., ­ n/(n+1), 1, 1+ n/(n+1), 2, ..., m, m+ n/(n+1), m+1, ... . , . 1: . , , , ­ [4]. , ­ [5], [6]. , , . , (2i­1)/(2n), i,n, ni, i,n (, ..) , . , (2i)/(2n+1) i,n, ni , . , , , (least infinite, transfinite) . : , ? - : 0 = = {}, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,3}, ... . , , , .. , . . , (in nature), (out of nature).


44

..

­ «», «». , 1, 2, 3, ..., 0. , . . (2i)/(2n+1) i,n, ni, . : «» ? , n. , , . , . , n/(n+1), n 1, , , 0,999..., , . . , , . : « ( . ­ ..), , , , . , , , , , .. , , » [7]. 2: . , , . . 1910 . . , , , .


­

45

: ? : 1) , , ; 2) () . - , . - . , - , . 3: n. - n [8]. n, 2, 20, 21, 22, 23, ... , , n . «» . 1. «» n, , .. . «», n , 1n, 2n , 3n, 4n, ... . 2. : 1, 2, 3, 4, ... 1, 2, 3, 4, ... . , . : 1, 2, 3, 4, ... 1, 2, 3, 4, ...? : , 1, 2, 3, 4,..., 1+1, 2+1, 3+1, 4+1, ..., ..., 1+1, 2+1, 3+1, 4+1,


46

..

... .., . . 4-6 «» , : ( ­ 1) ­ (2). 1 [9] ( ), () (, , [10]). 2 ­ () ( ) , ( , ). , « » 2 1, [11]. « » . , « » [12]. , , . 4 , , , , - .


­

47

, , , . , , , [13]. 5 , , [14]. , . , . , . , . , . , . , .. +1, . 6. . , . , , , , . , 2, , 2. , , , , . , .


48

..

7 / 2. , , 1970- . , / [15] .. . [16] ( Cantor tree). , i=0, (. ).



( ­ ) ( ). i 2i i. 2 . , ( 1), 0, 1 , . , , , 1, 2. .


­

49

, 2:
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0, 00 00 00 01 11 ... 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ...

( 2=) , , .. 1. 0: |2| = || = 0 < 20 = 2|| [17]. 2 ()=2A>A. , MN |2M|=2|M|, 2 N: |2N|<2|N|. |2|<2||=20=, || = 0? , « , , m » [18]. , 2 (N)=2N , , , . |2|<2|| ||<|N| , : 2 2 , , . 2 N, , , c=20>|2|. , , , « 1».


50

..

, . 8 . , - i, : « , = lim = lim{, 2, 3, ...} , 1+ = , 1++2 = (1+) = 2 .. : = 1++2+... =




»



[19]. , () . , =. : «, = 2+ 5+9 . 2, , = lim 2n = 2. 2 = (2)2 = 22, 5 = 2+2+2, = 22+2+2+2+23+20. = 2( )» [20]. 2 = 22 = 4 = , = 2( ) = 2(4 ) = 2 = . , [21]. , , , [22]. , , , , : 1+ +1, 2 2 .. , , , «» , : 2 = 4 = ... = n = ... = = lim n , = .
2 2


­

51

, , {, ..., , ..., } P(), <, . «» {1, 2, 3, ..., } : Q(n) ­ «n », Q(); S(n) ­ «n+1=1+n», S(); R(n) ­ «(n+1)/n>1», R() . « » . P() , « ». ( . 2): ij j=1, i, .. - , , . . , . 2 1, 2, 3, 4, ..., , +1, +2, +3, ..., , 1, , 2, +1, 3, +2, 4, +3, ... . 3, 4, 5, ... . 2, , 2, 3, ..., , ( 2 j j = 1, ) [23], (pairing function): (i, j) = 0.5(i +j)( i +j +1)+j, (i, j) ­ () ; i ­ j; j ­ j. 2, .


52

..

n n- n jk ...n j, k, ..., n=1, ,

, (tuple function) [24],

(n)(i, j, k, ..., n) = (

(n­1)

( i, j, k, ..., n­1), n).

n n­1- n n- . , . -1. . 1. ­1, .. -, . . 2. , ­1=, : ()(i, j, k, ..., ) = (
(­1)

(i, j, k, ..., ­1), ) = ( ()(i, j, k, ..., ), ),

. , . 1 . , 2 . , , n . -2. 20=.


­

53

, . , 2, :
{1} {1,2} {2,3} {3,4} {4,5} ... {2} {1,3} {2,4} {3,5} {4,6} ... {3} {1,4} {2,5} {3,6} {4,7} ... {4} {1,5} {2,6} {3,7} {4,8} ... {5} {1,6} {2,7} {3,8} {4,9} ... ... ... ... ... ... ...

3- 3, . , , . 2 . 1. -2 , , ..., 2, ..., 3, ..., n, ... , 20=. 0, .. 1. 2. - - , , , ... 2, 3, 4, ... . , 2=21 2 . .. , , , .



54

..

, . ­ . - , , ­ . , . , . , , [25]. , « » [26]. , , , , , , . «» , , , . , « » [27], , « , , , » [28]. , , . -


­

55

, . . , , . « » (1011), (1015), «» (210 ), , (210 210 ) 210 . , , , , , , . .
1. .., . . . 1: . ­ 2- . ­ .: , 2002. ­ . 33. 2. . ­ . 104. 3. .: . // . . ­ .: , 1985. ­ C. 293. 4. .: . : // . . ­ . 65. 5. .: . // . . ­ C. 267. 6. .: .. . ­ .: , 1967; / . . .. . ­ .: - , 2003. 7. . // . . ­ C. 283. 8. .: . . ­ .: , 2007. 9. , , . . , «» .
15 15 15 15


56

..

10. . // . . ­ .: , 1985. 11. ­ , , ; . 12. . 13. .: .. . ­ .: , 1976; . : . ­ .: , 2007. 14. .: .. // . ­ 2000. ­ 2. ­ . 165­168. 15. .: .. . ­ M.: , 1997. 16. .: .., .. : // ­ . ­ .: -, 2000. ­ . 172­179. 17. .: . . ­ . 72; Potter M. Set Theory and its Philosophy: A Critical Introduction. ­ N.Y.: Oxford University Press, 2004. ­ . 199. 18. . . ­ C. 176. 19. . . ­ . 70. 20. ., . . ­ .: , 1970. ­ . 259. 21. .: . . ­ . 93. 22. .: .. // . ­ 2002. ­ 72 (3). ­ . 245­250. 23. .: . // . . ­ . 34. 24. .: Lisi M. Some remarks on the Cantor pairing function // Le Matematiche, 2007. ­ No.62 (1). ­ P. 55­65. 25. .: . : . ­ . 482­530; . // . ­ 1960. ­ 5. ­ C. 99­112. 26. .: Hodges W. An editor recalls some hopeless papers // The Bulletin of Symbolic Logic. ­ No. 4 (1). ­ P. 1­16. 27. .: . ... ­ . 80. 28. . 14.04.2014 . .. , . akula-@mail.ru. Kulaichev, A.P. Transfinite sets: limits of knowledge The paper considers semantic problems of the study of infinite sets. It shows that there exist various ideas about substantial foundation, basic notions and the structure of infinite sets; these ideas result in various and contrary conclusions. So, in this field, due to limited capacities of the substance of the human mind there are certain limits of knowledge. Therefore different ideas, arguments and conclusions have a right to coexist equally, like Bohr principle of complementarity in physics. Keywords: transfinite sets; ordinals; cardinals; countability