Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.pms.ru/zadachi_vstupitelnogo_ekzamena/544.html
Дата изменения: Sun Apr 10 00:13:26 2016
Дата индексирования: Sun Apr 10 00:13:26 2016
Кодировка: Windows-1251
Задачи вступительного экзамена по математике (1998 г.)
Тест
Угол между стрелками часов в 12 часов 20 минут равен: (А) 82,5њ; В) 90њ; С) 120њ; (D) 110њ; (Е) 40њ.
Пусть n!=1×2×...×n. Для каждого натурального n≥2 количество простых чисел среди чисел n!+2, n!+3,..., n!+n! равно: (А) 0; (В) 1; (С) 2; (D) [n/2]; (Е) n-1.
На сторонах ВС и AD прямоугольника ABCD выбраны точки N и М, так что DM:AM=1:4, NB:ВС=1:3. Отношение площадей четырехугольников NCDM и MABN равно: (А) 13:17; (В) 7:11; (С) 3:5; (D) 19:21; (Е) 17:27.
Продукция нефтеперерабатывающего завода была разлита по 640 одинаковым цистернам. Если бы в каждую цистерну входило на 10 тонн бензина больше, то их потребовалось бы на 80 меньше. Сколько тонн бензина было произведено? (А) 38400; (В) 41600; (С) 44800; (D) 48000; (Е) 51200.
Числа a1, a2 , a3 : образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a4 +a5 +a6 +...+a14 =110. Сумма a5 +a13 равна: (А) 18; (В) 19; (С) 20; (D) 21; (Е) 22.
На карточке написаны следующие утверждения, каждое из которых может быть истинным или ложным: 1) На карточке ровно одно утверждение ложно; 2) На карточке ровно два утверждения ложны; 3) На карточке ровно три утверждения ложны; 4) На карточке ровно четыре утверждения ложны. Сколько ложных утверждений на этой карточке? (А) 0; (В) 1; (С) 2; (D) 3; (Е) 4.
Сколько общих точек имеют графики функций у=|x-1| + |x+4| и у=3-x? (А) ни одной; (В) 1; (С) 2; (D) 3; (Е) бесконечно много.
В 1996 году объем добычи на двух шахтах относился как 2:3. В 1997 году объем добычи на первой шахте сократился на 40%, а на второй шахте вырос на 20%. На сколько процентов уменьшилась суммарная добыча угля на двух шахтах? (А) 2%; (В) 4%; (С) 6%; (D) 8%; (Е) 20%.
Укажите уравнение прямой, проходящей через точку M(-6,-6) и перпендикулярной прямой у=-x+2. (А) у=3x+2; (В) у=x-4; (С) у=-3x-18; (D) y=3x+12; (E)y=-x-8.
Представьте число в виде суммы трех дробей с числителями, равными 1 и разными знаменателями.
Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный участок земли, огороженный с трех сторон забором длины 300м?
Ученик гулял 5 часов - сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Скорость гуляющего была 4км/ч на горизонтальном участке пути, 3км/ч при подъеме в гору и 6км/ч при спуске с горы. Найдите пройденное этим учеником расстояние.
Даны площадь S и периметр P прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу.
Расшифруйте ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные).
Вариант 2
Напишите число , использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень равносильно использованию знака корня).
Найдите сумму всех трехзначных положительных четных чисел меньших 900, которые делятся на 3 нацело.
При каких значениях а система уравнений имеет больше одного решения?
Отрезок BE разбивает треугольник АВС на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен . Известно, что длина отрезка BE равна 1. Найдите периметр треугольника АВС.
Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка?
Вариант 3
Заштриховать на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению (x+у+1)(-x+у+1)≥0.
Цифры от 1 до 9 записаны в порядке возрастания. Расставьте в некоторых промежутках между ними знаки арифметических действий так, чтобы после выполнения этих действий получилось число 100. Найдите возможно большее число решений.
На боковых сторонах АВ и CD трапеции ABCD выбраны точки Е и F так, чтобы АЕ:BE=1:2 и DF:CF=2:1. Найдите отношение площадей четырехугольников AEFD и BCFE, если AD:ВС=2:1.
Разложите число 3125 на 3 целых положительных множителя (некоторые из них могут равняться единице) всеми возможными способами. Способы, получающиеся друг из друга перестановкой сомножителей, считаются одинаковыми.
Решите систему уравнений
Вариант 4
При каких значениях параметра a всякое решение неравенства х2-3x+2<0 будет одновременно решением неравенства ах2-(3a+1)x+3>0?
Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в 61 грамм, положенный на чашу весов?
Запишите число , использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень ½ равносильно использованию знака корня).
Решите уравнение (x+2)(x+5)(x+15)(x+18)=-360.
Через точку внутри треугольника проведены прямые, параллельные трем сторонам треугольника. Эти прямые разбивают исходный треугольник на три треугольника и три параллелограмма. Произведение площадей полученных треугольников равно а. Найдите произведение площадей параллелограммов.
Вариант 5
Найдите наименьшее из натуральных чисел, которые при делении на 2 дают в остатке 1, при делении на 3 дают в остатке 2, при делении на 4 дают в остатке 3, при делении на 5 дают в остатке 4.
В геометрической прогрессии a10 =8. Найдите a1 ×a2 ×:×a19 .
На прямой дано n различных точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?
Решите систему уравнений
Упростите выражение .
Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12см, а длина основания равна 15см.
Экзамен в 10-й класс
Вариант 1
Решите уравнение sin4x-cos4x=1.
Найдите хотя бы 10 решений уравнения 3п+5k=7 в целых числах.
На окружности с диаметром AB взята точка С. Пусть М - точка пересечения прямой АС с касательной к окружности, проведенной через точку B. В каком отношении площадь треугольника ВСМ делится касательной к окружности, проведенной через точку C?
Решите уравнение .
Расставьте числа 1, 2, :, 9 в клетках таблицы 3´3 так, чтобы все суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей, были бы равны.
Вариант 2
Заштриховать на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению у=|y-sinx|.
Решите систему уравнений
На плоскости даны четыре точки A, В, С, D такие, что АВ=1, ВС=2, ÐABC=, CD=, ÐBCD=. Найдите AD.
Найдите знак суммы .
На каждом ребре четырехгранного угла взято по точке, отстоящей от вершины О на расстояние 1м. Оказалось, что эти четыре точки образуют квадрат ABCD со стороной 1м. Какое наименьшее расстояние по поверхности четырехгранного угла должна проползти муха, чтобы попасть из точки пересечения медиан треугольника ОАВ в точку пересечения медиан треугольника OCD?
Вариант 3
Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия сделается арифметической, но если после этого увеличить последний член на 64, то прогрессия снова сделается геометрической. Найдите эти числа.
В треугольнике АВС проведены медианы AD и BE, пересекающиеся в точке F. Известно, что круги, вписанные в треугольники AFE и CFE, равны между собой, сторона AB=4. Найти ВС.
Решите уравнение .
Найдите число решений системы
Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в 67 грамм, положенный на чашу весов?
Вариант 4
При каких натуральных числах n уравнение = не имеет решений?
Решите систему уравнений
Сколько существует различных пятизначных чисел, среди цифр которых имеется хотя бы одна пятерка?
Отрезок АЕ разбивает треугольник АВС на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен . Известно, что длина отрезка АЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Известно, что параметр удовлетворяет неравенству ≤2. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x2+ax+а-1=0 будет наибольшей?
Заочный экзамен
Экзамен в 9-й класс
Вариант 1
При каких натуральных n число n2+17n-2 а)делится на 11; б)делится на 121?
В четырехугольнике ABCD стороны ВС и CD равны, а стороны АВ и AD не равны. Диагональ АС, равная 8см, является биссектрисой угла BAD, равного 45њ. Найдите АВ+AD.
Решите систему уравнений
Разрежьте равносторонний треугольник на 5 попарно различных равнобедренных треугольников.
Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе у=2х2 можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.
Экзамен в 10-й класс
Вариант 1
В каких пределах может меняться длина отрезка NM с концами на сторонах АВ и ВС равностороннего треугольника АВС единичной площади при условии, что точки М и N равноудалены от середины стороны АС, а отрезок NM не параллелен АС?
Ученик последовательно возводит в квадрат четырехзначные числа: 10002, 10012, 10022,... и стирает у каждого из полученных квадратов три последние цифры. До какого момента у него будет получаться арифметическая прогрессия?
Решите систему уравнений
Разрежьте равносторонний треугольник на 5 попарно различных равнобедренных треугольников.
Докажите, что для произвольных a, b и g выполняется неравенство sina sinb sing+cosa cosb cosg < 1.
; (В) 19; (С) 20; (D) 21; (Е) 22.
x+2.
x-4; (С) у=-3x-18; (D) y=3x+12; (E)y=-
x-8.
=0.
в виде суммы трех дробей с числителями, равными 1 и разными знаменателями.
, использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень 
равносильно использованию знака корня).
имеет больше одного решения?
. Известно, что длина отрезка BE равна 1. Найдите периметр треугольника АВС.
, использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень ½ равносильно использованию знака корня).
.
.
, CD=
, ÐBCD=
. Найдите AD.
.
.
=
не имеет решений?
. Известно, что длина отрезка АЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
≤2. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x2+ax+а-1=0 будет наибольшей?
