Вступительное задание заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2005-2006 учебный год

Математика

Для поступающих в 10 класс

1. Может ли квадрат целого числа оканчиваться цифрами а) 123456789; б) 987654321?

2. В треугольнике АВС известны углы A = 30њ, B = 80њ. Внутри треугольника взята точка K такая, что треугольник ВСK правильный. Найдите угол KАС.

3. Решите уравнение

.

4. В треугольнике АВС точка D - середина медианы АМ. Прямая CD пересекает АВ в точке N. Найдите СN, если BD = BM, AN = a.

5. Числа 1, 2, 3, ... , 50 каким-то образом разбили на 10 пятерок и в каждой пятерке взяли среднее по величине число. Какова а) наибольшая; б) наименьшая сумма этих чисел?

Для поступающих в 11 класс

1. Может ли число вида  быть простым?

2. Решите уравнение

.

3. В треугольнике ABC расстояние от центра описанной окружности до стороны AB равно d, а ABC = 60њ. Точка D на стороне BC такова, что . Найдите CD.

4. См. задачу 5 для поступающих в 10 класс.

5. Найдите радиус окружности, касающейся катетов прямоугольного треугольника ABC и описанной около ABC окружности, если радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен r.

Физика
(физико-математическое отделение)

Для поступающих в 10 класс

1. Частица движется по прямой линии с постоянным ускорением. В начале и в конце некоторого участка прямой проекции скорости частицы равны v₁ и v₂. Найдите величину скорости частицы v_m в середине этого участка.

2. Наклонная плоскость образует угол   с горизонтальной плоскостью. Если телу, находящемуся у основания наклонной плоскости, сообщить начальную скорость, то оно остановится через интервал времени t_п и соскользнет до основания за интервал времени t_сп. Отношение t_сп/t_п=2. Найдите коэффициент трения  тела и плоскости.

3. Центр тяжести C шара радиусом R находится на расстоянии  от геометрического центра шара O. Шар поставили на шероховатую наклонную плоскость, образующую угол  с горизонтальной плоскостью. Найдите угол , образуемый отрезком СО с вертикалью в положении равновесия.

4. Половина доски длиной L лежит на полу кузова грузовика, другая половина находится снаружи. Доску необходимо втолкнуть в кузов грузовика. Коэффициент трения . Найдите наименьшую начальную скорость доски v₀.

5. Батискаф массой m выполнен в форме цилиндра с площадью основания S, высотой d, составленного из двух половинок с площадью основания S. Батискаф находится в положении равновесия на глубине H > d, равной расстоянию от поверхности воды до средней плоскости поперечного сечения цилиндра. Давление в батискафе равно атмосферному давлению. Найдите величину силы реакций N, действующих на каждую половинку цилиндра.

Для поступающих в 11 класс

1. Каркас, представляющий собой стороны параллелограмма ABCD, закреплен над поверхностью земли. Промежутки времени падения капель из точек A, B, C до земли соответственно равны  с,  c,  c. Найдите промежуток времени падения капли T из точки D.

2. Горизонтально расположенный теплоизолированный цилиндр объемом V заполнен воздухом, разделенным на две части теплоизолированным поршнем. Одной части воздуха сообщают количество теплоты Q. Найдите приращение давления Dp после установления состояния теплового равновесия.

3. Двигатель холодильника потребляет мощность Р₀ = 100 Вт. Температура внутри холодильника t₁ = 7њC, температура в комнате t₂ = 27њC. В результате поломки дверного выключателя лампочка внутри холодильника продолжает гореть при закрытой двери. Потребляемая мощность возросла до значения Р = 101,45 Вт. Найдите мощность лампочки Р_л. Холодильный коэффициент в два раза меньше, чем у машины Карно.

4. Частица массой m = 0,1 г с зарядом q = 9,8 нКл движется в однородном электрическом поле, создаваемом вертикально расположенными параллельными пластинами. Расстояние между пластинами d = 20 см. Разность потенциалов , V₀ = 10⁵ В. Вначале частица находилась на положительно заряженной пластине. Найдите величину смещения частицы h в вертикальном направлении в момент столкновения с отрицательно заряженной пластиной.

5. Резисторы, сопротивления которых R₁ = 2 Ом и R₂ = 8 Ом, поочередно подключаемые к батарее, потребляют одинаковую мощность P = 8 Вт. Найдите максимальное значение мощности P_m, которую может потреблять внешняя цепь.

Химия

Для поступающих на химико-биологическое отделение

1. Оксид серы (IV) объемом 4,48 л (н.у.) пропустили в 100 г 3,6%-ного раствора гидроксида лития. Сколько моль соли образовалось в растворе?

Полученный раствор прокипятили. Сколько моль соли содержится в растворе после кипячения, если испарением воды можно пренебречь?

Напишите уравнения реакций.

2. Приведите шесть различных реакций получения селената рубидия Rb₂SeO₄. Каждая реакция должна отличаться от остальных хотя бы одним из исходных веществ.

Реакции не считаются различными, если в них участвуют однотипные вещества, например, NaCl в одной и KCl в другой реагируют с одним и тем же веществом.

Архив новостей >>