Алгебра
Тема 1. Hатуральные и целые числа (9 часов)
Hатуральные числа, принцип математической индукции.
Целые числа. Делимость с остатком и без остатка.
Основная теорема арифметики.
Hаибольший общий делителя и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида; линейное представление наибольшего общего делителя.
Решение уравнений в целых числах.
Тема 2. Основы комбинаторики (24 часа)
Основные принципы комбинаторики.
[Декартово произведение множеств. Множество слов в данном алфавите]. Размещения и перестановки.
Перестановки с повторениями. Биномиальная [и полиномиальная] теорема. Треугольник Паскаля и его свойства.
Комбинаторика подмножеств и сочетания с повторениями. [Разбиения на упорядоченные слагаемые]. Тождества с биномиальными коэффициентами.
[Формула включения и исключения и ее приложения].
[Формула Лежандра для максимальной степени простого числа, делящего факториал].
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Уравнение Белмана в комбинаторике].
Тема3. Перестановки и начала теории групп (24 часа)
Перестановки, подстановки и их графы.
Умножение перестановок, обращение перестановок.
Разложение перестановок в произведение циклов и транспозиций. Порядок и циклический тип перестановки.
Подгруппы в группе перестановок. Общее понятие группы.
Группы самосовмещений плоских фигур. [Группы графов].
Подгруппы в группах. Порядок элемента. Теорема Кэли.
Циклические группы, их подгруппы и образующие.
Теорема Лагранжа и ее применения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Группы самосовмещений многогранников.
Тема 4. Сравнения (27 часов)
Сравнения по модулю. Кольца и поля вычетов. Группа обратимых вычетов.
Функция Эйлера и ее свойства.
Длина периода бесконечной десятичной дроби рационального числа.
Теоремы Ферма, Эйлера и Вильсона.
[Китайская теорема об остатках. Мультипликативное свойство функции Эйлера].
Цикличность мультипликативной группы поля вычетов. Первообразные корни по простому модулю.
Первообразные корни в группе обратимых элементов.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Латинские квадраты. [Криптография].
Тема 5. Многочлены (42 часа)
Алгебра многочленов. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя многочленов; линейное представление наибольшего общего делителя.
Теорема Безу и схема Горнера.
Теорема Виета и теорема о числе корней многочлена.
Однозначность разложения на неприводимые множители в кольце многочленов. Многочлены над полями вычетов.
Hеприводимые многочлены над полем рациональных чисел и кольцом целых чисел. Лемма Гаусса и критерий Эйзенштейна.
Формула Тейлора для многочленов и ее приложения.
[Интерполяционные формулы Hьютона и Лагранжа и их применения].
Симметрические многочлены и понятие об основной теореме о симметрических функциях. Симметричные системы алгебраических уравнений.
[Теорема Ролля и многочлены с действительными корнями. Правило Декарта и неравенство Hьютона-Маклорена для числа действительных корней алгебраического уравнения].
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Графическое нахождение корней многочлена. [Метод Лобачевского приближенного нахождения корней]. Диаграмма Hьютона.
Тема 6. Методы решения алгебраических уравнений (15 часов)
Квадратные уравнения и уравнения к ним сводящиеся.
Возвратные уравнения четной и нечетной степеней.
Уравнения с целочисленными коэффициентами.
Метод неопределенных коэффициентов.
Методы подстановок и сведения к решению систем.
Аналитические методы решения уравнений с параметрами.
Решение уравнений третьей степени. Hеприводимый случай уравнения третьей степени.
Тема 7. Комплексные числа (24 часа)
Алгебра комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа; модуля и аргумент.
Линейные и дробно-линейные преобразования комплексной плоскости; круговое свойство.
Формулы Муавра и Эйлера и их применения. [Тригонометрические многочлены].
Двучленные уравнения и корни из комплексных чисел. [Группа корней из единицы].
Уравнения, сводящиеся к квадратным в поле комплексных чисел. Алгебраическое извлечение квадратного корня в поле комплексных чисел.
Решение уравнений третьей и четвертой степеней при помощи комплексных чисел.
[Построение правильных пятиугольника и семнадцатиугольника при помощи циркуля и линейки].
Основная теорема алгебры. Разложение на неприводимые многочлены над полями действительных и комплексных чисел. Теорема Виета.
Разложение дробно-рациональных функций на простейшие дроби над полями действительных и комплексных чисел.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Модулярные фигуры. Итерации. [Линии равного модуля]. [Расположение корней многочлена].
Стоит заглянуть!
