Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.phys.msu.ru/upload/iblock/532/KondratievNM.pdf Дата изменения: Sat Apr 2 01:19:41 2016 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:01:47 2016 Кодировка: Windows-1251

На правах рукописи

Кондратьев Никита Михайлович

Анализ тепловых шумов в многослойных диэлектрических зеркалах интерферометров и оптических микрорезонаторах

01.04.01 Приборы и методы экспериментальной физики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2015


Работа выполнена на кафедре физики колебаний физического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Городецкий Михаил Леонидович д.ф-м.н., проф. кафедры колебаний физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: Манукин Анатолий Борисович д.ф.-м.н., Гл.н.с., Институт физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН Самойленко Алексей Андреевич к.ф.-м.н., н.с., Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений (ФГУП ВНИИОФИ)

Ведущая организация: Институт спектроскопии РАН (ИСАН)

Защита состоится

"

3" марта 2016 года в 15-30 на заседании диссертационного совета

Д 501.001.66 на базе Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Физический факультет МГУ, ауд. ____.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова и на сайте phys.msu.ru/rus/research/disser/sovet-D501-001-66/

Автореферат разослан

"

__" _________ 2015 года

Уч?ный секретарь диссертационного совета Д 501.001.66 к.ф.-м.н. И.Н. Карташов


1. Общая характеристика работы

1.1.

Актуальность темы
Современная наука и техника движутся по пути всеобщей миниатюризации и повыше-

ния точности измерений. Меньшие размеры изучаемых объектов, приборов, меньшие длины волн, меньшие величины сигналов. Большой интерес представляют измерения на квантовом уровне. Целью многих исследователей является приготовление и наблюдение макроскопических тел в квантовых состояниях. Вс? это приводит к возрастанию роли различных шумов, и требует тщательной разработки приборов и подготовки экспериментов. На сегодняшний день одним из самых точных физических приборов является лазерная гравитационная обсерватория (LIGO) [1]. Гравитационные волны настолько слабы, что несмотря на их косвенное обнаружение в 1974, их прямое детектирование не могло произойти до настоящего времени только в течение этого года Advanced LIGO вышел на проектную чувствительность, которой должно быть, наконец, достаточно [2, 3]. Другими словами, для успешного при?ма необходимо измерять относительные смещения пробных масс на уровне

10-

20

метра. Настолько высокие требования к точности приводят к тому, что даже бро-

уновское движение частиц поверхности зеркала мешает эффективной работе прибора. Существует множество источников дополнительных помех [4], но на настоящее время основным фактором снижающим чувствительность являются тепловые флуктуации покрытия и подложки зеркал. Таким образом, точный расч?т и поиск путей их снижения очень важная задача. Источники шумов и методы их расч?тов могут быть одинаковыми для различных оптических приборов. Флуктуации в сорокакилограммовых зеркалах LIGO и в микроскопических диэлектрических резонаторах могут иметь общие причины. Сейчас появляется множество новых оптических измерительных систем. Многие специалисты предсказывают в скором времени переход от классической электроники к фотонике когда основным носителем энергии и информации будет световое излучение. Волоконно-оптические линии передачи данных уже активно используются в системах связи, так как способны передавать большие массивы данных с меньшими потерями и практически невосприимчивы к электромагнитным полям. Развитие данной области требует создания эффективных устройств сопряжения радио сигналов с оптическими электрооптических модуляторов и оптоэлектронных генераторов. Перспективным базисным элементом для этих устройств являются нелинейные микрорезонаторы с модами типа шепчущей галереи (ММШГ) [5, 6, 7]. В частности, их использование 3


позволяет получать оптические греб?нки излучение, состоящее из очень большого числа отдельных спектральных линий, равноотстоящих друг от друга на фиксированную СВЧ или радиочастоту. Недавно было показано [8], что нестабильность в таких греб?нках возникает не вследствие каких-либо фундаментальных ограничений и с ней можно бороться. Более того, электрический сигнал от прямого детектирования такой гребенки представляет собой очень чистый СВЧ-сигнал, необходимый во многих приложениях.

1.2.
ћ

Цели работы
Построение метода точного расч?та фазового шума многослойных зеркал и поиск пути его подавления

ћ ћ ћ

Поиск источников дополнительных шумов в многослойных зеркалах

Разработка и оптимизация чувствительных электрооптических модуляторов на ММШГ

Расч?т шумов в оптических микрорезонаторах с МШГ

1.3.

Научная новизна
Рассмотрены классические источники шумов в многослойных зеркалах и выявлен фо-

тоупругий шум, не учитывавшийся ранее. Разработаны методы расч?та шумов с уч?том проникновения света в глубь зеркала и показано, что поправка за сч?т интерференции в верхних слоях зеркала не достигает 10%. Необычным оказалось то, что эта поправка имеет обратный знак (т.е. происходит небольшое самоподавление шума). Проанализированы различные методы подавления фазового шума в многослойных зеркалах. Показано, что общепринятое утверждение об оптимальности полуволновой суммарной толщины пар сло?в в общем случае неверно. Предложены и исследованы новые виды шумов кристаллизации (расстеклования) и вязкого трения. Впервые произведена оценка плотности частоты событий кристаллизации на основе литературных данных об укорачивании стержней, что позволило дать количественную оценку шума расстеклования в зеркале и его подвесах. Исследована возможность построения электрооптических модуляторов на основе ММШГ и показана возможность оптимизации электрооптического взаимодействия пут?м выбора формы радиочастотного резонатора. Построена теория модуляции в многомодовой системе

4


МШГ и получены формулы для амплитуды модуляции. Произведены оценки шумов частоты в ММШГ и произведена оценка чувствительности модулятора.

1.4.

Практическая ценность
Получены формулы для фазового шума зеркал с уч?том проникновения излучения

внутрь зеркала. Выработан метод аналитического расч?та шумов покрытия с плавно меняющимся показателем преломления (произвольного профиля). Предложена теория обобщенного многослойного покрытия, минимизирующего шумы при заданном коэффициенте отражения. Эти результаты будут использованы при проектировании детекторов гравитационных волн нового поколения. Разработана система программ для расч?та электрооптического взаимодействия в ММШГ и метод расч?та тепловых шумов в МШГ методом конечных элементов. эти разработки будут использованы при создании устройств фотоники на основе ММШГ.

1.5.

Апробация работы
Результаты работы докладывались на международных конференциях коллаборации

LIGO в 2010, 2013, 2015 годах, Ломоносов 2010 и Ломоносов 2015, International Conference on Theoretical Physics in Moscow, Solid State Lasers 2013,

"

492. WE-Heraeus-Seminar" ,

"

ICONO/LAT 2013" , Advanced

"

CLEO" Europ e 2013,

"

IFCS & EFTF" 2013, Nonlinear Optics Conference

(NLO 2013), Frontiers in Optics 2013, PIERS 2015, ICGAC-12 (2015), ICQT 2015, всероссийских конференциях

"

VI Радиолокация и связь" ,

"

Радиолокация 2030" , Физика и применение

микроволн ( Волны-2013" и

"

"

Волны-2015" ), I I I научно-техническая конференция

"

Электро-

ника и микроэлектроника СВЧ" , Волновые явления в неоднородных средах ( Волны-2014" ),

"

научных семинарах кафедры физики колебаний МГУ.

1.6.

Публикации
Результаты работы опубликованы в 4 статьях в зарубежных [A1, A2, A3, A4] и 3 статьях

в Российских [A5, A6, A7] журналах, доложены на 5 всероссийских и 13 международных конференциях. Список печатных статей привед?н в конце настоящего автореферата.

5


1.7.

Объ?м и структура работы
Работа состоит из тр?х глав, введения, заключения, приложения и списка литерату-

ры. В работе 159 страниц (включая оглавление, список обозначений, список литературы и приложения), 48 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 117 наименований.

2. Краткое содержание диссертации

2.1.

Глава 1 Тепловые шумы в многослойных зеркалах
Во введении к Главе 1 описываются основные принципы действия лазерных интерфе-

рометрических антенн для регистрации гравитационных волн. Рассказывается о происхождении тепловых шумов в зеркалах, приведены формулы для известных шумов. Вводится следующая общая классификация тепловых шумов в оптических системах

1. Броуновский шум: смещение поверхности (деформации), приводящее к сдвигу фазы



Br

= -2k0 n0 uz |z

=0

= -2k0 n

0

uz |z=0 ik ik

(2.1.1)

2. Фотоупругий (акустооптический) шум: деформации, приводящие к изменению показателя преломления



a = -k0
0

n(z )e

-

z d



dz = -k0
0

n ui ik e ui ik

-

z d

dz

(2.1.2)

3. Термоупругий шум: флуктуации температуры, пересчитанные в смещение поверхности через тепловое расширение ([9, 10])



t.e.

= -2k0 n0 uz |z

=0

= -2k0 n

0

uz |z=0 T T

(2.1.3)

4. Терморефрактивный шум: флуктуации температуры, пересчитанные в изменение показателя преломления ([11])




Здесь

t.r.

= -k

0 0

n(z )e k0

-

z d



dz = -k0
0

z n T e- d dz T

(2.1.4)



изменение фазы сигнала,

волновое число,

n0

показатель преломления,

uj



поле смещений при деформациях,

d

глубина проникновения оптического поля в зеркало,

T

и



ik флуктуация температуры и механического напряжения. Общее возмущение
6


фазы складывается из отдельных возмущений. Данный набор шумов полон при условии, что мы исключаем из рассмотрения электромагнитные и химические эффекты.
В первом разделе производится рассмотрение характеристик отражения от много-

слойного покрытия и получены формулы для коэффициента отражения. Учитывая малость смещений, можно получить фазовый сдвиг сбоя интерференции го коэффициента отражения



и дефект амплитудно-



(приводящий к амплитудному шуму, и не рассчитываемый

традиционным подходом). Полученные формулы верны как для флуктуаций толщины (броуновские и термоупругие шумы), так и для флуктуаций коэффициента отражения

d

j

nj

(фотоупругие и терморефрактивные шумы). Из этих формул выводятся формулы для шума коэффициента отражения и, при помощи предельного перехода, формула для шума при отражении от неоднородного слоя. На основе этого рассмотрения можно ввести так называемые шумовые коэффициенты детерминированные коэффициенты перед флуктуирующими параметрами (изменениями толщины для броуновской ветви или температуры для тепловой) в сумме и производится построение их распределения по слоям. Показано, что шумовые коэффициенты частей броуновской ветви шумов имеют разные знаки. Это формально допускает самокомпенсацию, однако вследствие интерференции такая компенсация имеет место только во внешних слоях. В частности показывается, что внешние слои не дают вклада в шум за сч?т интерференции. Для уч?та амплитудной части шума производится построение модели полного интерферометра и расч?т отношения сигнал/шум. Показано, что амплитудная часть шума роли практически не играет. Построенные диаграммы показывают, что подстройкой длин плеч интерферометра можно выбирать режимы подавления шума, или попасть в область, где интерферометр становится не чувствителен к гравитационной волне.В конце раздела проведены расч?ты спектральных плотностей различных вкладов в тепловой шум.
Во втором разделе производится рассмотрение различных методов оптимизации по-

крытия для снижения шумов.

ћ

Дополнительный корректирующий слой. Можно изменять толщину внешнего дополнительного корректирующего слоя в надежде уменьшить шум за сч?т интерференционных эффектов. Этот метод оказался действенным при попытке уменьшения вклада тепловой ветви шумов [4]. Как показывает расч?т, для Броуновского шума результат оказался несущественным: удается достичь подавления менее чем на

0.69%

ћ

Двустороннее зеркало. В литературе упоминается зеркало с малым числом сло?в на передней стороне подложки и остальными слоями на задней стороне (двустороннее 7


зеркало или эталон Халили). Идея состоит в том, что только те несколько сло?в на передней стороне создают броуновский шум (смещения поверхности), в то время как задние слои не дают в него вклада, как бы двигаясь в противоположном направлении. В этом случае необходимо учитывать интерференцию, так как передние слои и подложка пропускают значительную мощность света, а значит в них будет сильная интерференционная поправка. Показано, что подбором толщины подложки можно довести подавление до 78% (шум толщины подавляется на 80%). Основная проблема эталона его чувствительность к точности изготовления подложки и е? тепловому расширению. В частности, неточность оптической толщины порядка флуктуации температуры 6 мК, увеличивает шумы на

0.07/4,

соответствующая

5%

ћ

Двойное зеркало. Та же идея может быть реализована в другой геометрии (двойное зеркало или резонатор Халили) с двумя независимо подвешенными зеркалами вместо одного. При этом первое зеркало должно иметь малое число сло?в и, следовательно, малый шум смещения, а второе давать требуемое отражение. При такой геометрии оценки дают значение подавления 81% (шум толщины подавляется на 92%). Чувствительность к величине зазора между зеркалами вдвое выше, однако эта система настраиваемая, и зазор может контролироваться в реальном времени. Недостаток обоих предыдущих схем в повышенной мощности излучения, циркулирующей внутри подложки, что может привести к нежелательному нагреву и, в частности, к тепловой линзе искривлению волнового фронта из-за неоднородности показателя преломления, вызванного нагревом. Также важно отметить, что при определ?нных параметрах системы (толщины подложки и зазора, количество передних сло?в) интерференционная часть может не только не приводить к улучшениям, но даже ухудшать картину. Например, если толщина подложки эталона равна ч?тному числу четвертей длин волн, или толщины подложки и зазора двойного зеркала равны неч?тному их числу, то шум покрытия интерференционно усиливается и эффект подавления исчезает (

= -7%).

Максимальный эффект сильно зависит от отношения спектральных

плотностей шума толщины и изгиба, которое пока неизвестно. Можно показать, что эффект уменьшается практически линейно от 40 до 2 % вместе с уменьшением этого отношения.

ћ

Изменение толщин сло?в. Предлагалось уменьшить толщину сло?в из

T a2 O5

, как более

шумящего материала (его оптические и акустические потери существенно больше чем в кварце), при сохранении суммарной оптической толщины пары 8

/2 (nl dl + nh dh =


/2).

Чтобы сохранить заданное отражение, общее число сло?в увеличивалось. Было

аналитически показано, что существует оптимум соотношения толщин и числа сло?в, приводящий к минимальному шуму при заданном пропускании.

Итоги главы 1.

Расч?ты показали, что интерференционные эффекты и фотоупругость играют роль только во внешних слоях зеркала и там, где мощность излучения не мала. Интерференционная поправка к шуму смещения поверхности для простых зеркал лежит в районе без уч?та сдвига) и

1.96% (6%

2.33% (7.45%

без уч?та сдвига) с уч?том фотоупругости. Также показано

наличие и дан способ расч?та амплитудного шума, связанного с броуновскими флуктуациями в покрытии зеркала. Этот шум оценен как малый. Наиболее многообещающим методом подавления шума для простых зеркал является метод изменения толщин сло?в (уменьшение шума порядка

7%).

Так же разработан анали-

тический подход к этому методу и показано, что толщины пар сло?в должны быть меньше половины волны (l

+ h = 2 - 2g 2 sin(h )

, где

g=

nh -nl элементарный коэффициент nh +nl

отражения границы слоя), вопреки считавшемуся ранее. Большие значения подавления были получены в предварительных расч?тах для составных зеркал порядка 78% (

8090%

по толщине). Рассмотрены некоторые недостатки этих

конструкций, в частности показана возможность интерференционного усиления шума (до -7 %) вместо ожидаемого подавления. Однако, возможность практической реализации этих зеркал оста?тся открытой.

2.2.

Глава 2 Избыточные шумы в плавленом кварце
Глава 2 описывает дополнительные эффекты, являющиеся новыми источниками теп-

ловых шумов. Некоторые можно отнести к броуновским, добавив источники диссипации в угол потерь

(f )

. Однако, некоторые получаются из независимых аргументов, и не могут

быть просто причислены к одной из веток. Проводится изучение процессов спонтанной кристаллизации (расстеклования) и текучести кварцевого стекла, из которого делается большое количество оптических элементов, с точки зрения внесения избыточных шумов. Произведены оценки интенсивности процесса спонтанной кристаллизации и параметров стандартной линейной модели упругости и оценены спектральные плотности полученных шумов.
В первом разделе описывается шум кристаллизации (расстеклования). Плавленый

кварц, из которого состоит подложка зеркал, представляет собой оксид кремния, находящийся в состоянии стекла. В этом состоянии тв?рдое вещество не имеет кристаллической 9


структуры, условные элементы кристаллизации могут наблюдаться лишь в очень малых кластерах (в так называемом ?среднем порядке?). Такое состояние получается когда при переходе из жидкого состояния в тв?рдое кристаллическая реш?тка по каким-либо причинам не может образоваться. Обычно этими причинами являются высокая вязкость и быстрое охлаждение. В общепринятой научной и практической лексике ст?кла отличают от тв?рдых полимеров, которые также пребывают в аморфном состоянии ввиду огромной длины своих молекул. Важно, что стеклообразное состояние выше по энергии чем кристаллическое и система будет стремиться кристаллизоваться. Такой процесс кристаллизации стекла при температуре, меньшей температуры стеклования

Tg

называют расстеклованием (devitrication в

англоязычной литературе). Этот процесс наблюдается при длительном нагреве, при высокоинтенсивном лазерном облучении [12] или при сильном ударе [13] Ещ? более существенно то, что стекло и кристалл (а так же другие полиморфные состояния) характеризуются различными значениями физических и оптических параметров. Таким образом, возможен спонтанный переход из стеклообразного в кристаллическое состояние. При этом, за сч?т разности в плотности двух фаз, будет наблюдаться сжатие образца со временем. Подобный эффект был исследован в ряде работ и для различных стекол [14, 15, 16]. Поскольку процесс перехода спонтанный и локализованный, он должен порождать шум подобный дробовому. Рассмотрим вещество, малый подобъ?м которого (нечто типа пузырька) перешло в другое состояние. Тогда материальные параметры такого пузырька изменятся вместе с параметрами его состояния равновесия. Одним из таких параметров будет равновесный объ?м объ?м ненапряж?нного вещества, который равен в точности

mbubble /new

. Но как часть исход-

ного вещества, этот пузыр?к имеет объ?м, равный равновесному объ?му исходного состояния

mbubble /

old .

Точное решение подобной упругой задачи затруднительно, поэтому сделаем приближ?нную оценку. Задача о начальном смещении может быть заменена задачей о термоупругости. Вводится гауссово распределение изменения температуры внутри эквивалентного пузырька в точке

r

j . В приближении полубесконечного пространства такая задача была решена

в квадратурах. Шумовой процесс представляет из себя единичные события деформации, которые пересчитываются в события деформации поверхности

zj (xj , yj , zj )H (t - j ).

Для

стационарного процесса получим среднее смещение поверхности и спектральную плотность, выраженные через плотность частоты событий количество событий в секунду в единице объ?ма. Для оценки плотности частоты событий используем данные из работы [14], где сжатие эталона Фабри-Перо из оксида кремния было измерено экспериментально. Два зеркала 10


с диаметрами 6.6 мм были соединены трубкой из плавленого кварца. В такой конфигурации использованный нами подход становится не точным, так как в н?м было использовано приближение полубесконечного пространства. Здесь же мы имеем принципиально случай тонкого цилиндра. Чтобы провести соответствие между имеющейся и необходимой моделями, было использовано моделирование методом конечных элементов. Моделирование показало, что пузыр?к ?чувствует? только ближайшую поверхность цилиндра (ту, которой касается рассмотренная сфера). На глубинах, меньших радиуса цилиндра в районе его оси определяющей вид отклика будет передняя поверхность цилиндра, делая задачу близкой к полупространству и демонстрируя соответствующую зависимость от поперечной координаты при гауссовом усреднении и постоянство при поверхностном. На большей глубине определяющей становится боковая поверхность цилиндра. Расстояние до не? практически постоянно вблизи оси, что приводит к результату, не зависимому от глубины при любом способе усреднения. Поскольку величина

zj (0, 0, R)

отклик на глубине равной радиусу в случае полупро-

странства с гауссовым пятном получена аналитически, расч?т плотности частоты событий провед?н аналитически. Предполагалось, что радиус пузырька будет определяться из энергетических соображений: энергия связи, выделяющаяся в процессе кристаллизации должна быть равна упругой энергии, запас?нной в деформации. Однако, определить достоверно энергию связи не удалось: в разных источниках эта величина отличается в разы и, вероятно, зависит от параметров процесса формирования стекла. Поэтому было предположено, что это величина порядка размера атома кварца

a 0.22

нм. Это позволяет рассчитать

1.54 Ч 1016

событий в секунду в кубическом метре. В результате спектральная плот-

ность шума расстеклования на частоте 100 Гц при

R = L = 20

см и

w=6

см равна

6.31 Ч 10-

25

m/Hz

1/2

, что в

8000

раз меньше рассмотренных в первой главе броуновских

шумов в покрытиях и подложки зеркал LIGO. Оценка другого шума, основанного на дискретных событиях, была недавно проведена Ю. Левиным [17]. Он рассмотрел спонтанные события релаксации напряжения (события ползучести) в нитях подвесов. Однако, он также испытал нехватку данных о плотности частоты событий и объ?ма события, что не позволило ему получить абсолютные значения спектральных плотностей шума. Можно спорить о происхождении и направлении действия событий ползучести, однако локальное перераспределение связей, соответствующее расстеклованию, должно приводить к схожим последствиям. При этом формализм разработанный в [17] должен сохраниться, и мы можем использовать формулы (49) и (52) из его работы для оценки шума расстеклования в подвесах.

11


Простые оценки шумов в подвесах не учитывают сложную многоуровневую систему подвесов в LIGO. Более того параметр скорости процесса в нагруженном случае (массы зеркал не малые около 40 кг) может быть меньше, так как растяжение, вызванное массивными зеркалами, противостоит кристаллизации, требующей сжатия. Это указывает на то, что мы произвели оценку, по крайней мере, верхнего предела шума. Так как эта оценка лежит на уровне в

2 Ч 105

раз меньшем, чем уже учт?нные шумы подвесов и броуновские

шумы, этого вполне достаточно для заключения, что данные шумы никак не повлияют на чувствительность LIGO.
Во втором разделе описываются шумы вязкости. Флуктуационно-Диссипационная

Теорема утверждает, что источник диссипации в системе является так же источником флуктуаций. Спектральная плотность шума в зеркале представляется в виде

S ( ) =
где

4kB T c s Im[s + j + j ], T
температура,

(2.2.1)



частота,

kB

постоянная Больцмана,



s динамическая восприимчи-

вость подложки,

c j and

s j

восприимчивости покрытия и навед?нная покрытием добавка к

восприимчивости подложки. Не существует измерений вязкости стекол при комнатной температуре. Все измерения проводятся при температуре близкой к температуре стеклования (более кварца), когда это значение достаточно невелико (порядка

Tg = 1446

K для

1012

Паћс). При повышении тем-

пературы логарифм вязкости практически линеен относительно обратной температуры. Линейной интерполяцией до комнатной температуры можно получить значение вязкости порядка

1038

Паћс. Однако в недавних работах о протекании пластин из плавленого кварца, в

которых в течение пяти лет наблюдалась деформация под действием собственного веса при комнатной температуре, было получено гораздо меньшее значение

= 2 Ч 1017

Паћс.

В диссертации обсуждается модель вязкости (стандартная линейная модель упругости) и е? следствия для ?течения? пластин и затухания ультразвука. Вязкий шум подложки преобладает над броуновскими шумами подложки на частотах менее 11 Гц. Стоит отметить, что при использовании значения вязкости из [18] точка их пересечения смещается на 100 Гц центральную частоту кривой чувствительности устройства. Поэтому получение более точных оценок вязкости необходимо. В то же время вязкий шум не представляет угрозы для проекта пока не будет существенно снижен броуновский шум покрытия, являющийся наибольшим на данный момент. Заметим, что шум расстеклования обратно пропорционален вязкости и хорошо понижается со снижением температуры. Стоит отметить, что на данный момент нет данных о вязкости в тонких пл?нках оксида 12


кремния и оксида танталла.
Итоги главы 2.

В главе были проанализированы шумы связанные с аморфной природой подложки. Стеклообразное состояние вещества недостаточно исследовано и многие важные параметры ещ? не определены или обладают сильной зависимостью от состава и предыстории образования образца. Так определ?нные разными экспериментаторами разности внутренних энергий стеклообразного и кристаллического состояния различаются в два-три раза, угол механических потерь в зависимости от производителя на порядки, а измеренная в описанных экспериментах вязкость меньше экстраполированных на 15 порядков. Также очень мало данных, позволяющих определить дополнительные упругие параметры плавленого кварца. В связи с тем, что он находится на границе между жидкостью и тв?рдым телом, его поведение описывается не четырьмя (объ?мный и сдвиговый модули и вязкости), а шестью параметрами (ещ? одна упругая пружина). В литературе же для описания используют одно из двух приближений, обычно без обсуждения условия их применимости. Расч?ты показали, что описанные шумы не достаточно сильны, чтобы повлиять на работу существующих приборов и слабее других известных источников. Однако ввиду отсутствия некоторых данных нельзя говорить о высокой достоверности данного утверждения. Так вязкие параметры плавленого кварца требуют более точного исследования.

2.3.

Глава 3 Шумы в электрооптических модуляторах на основе микрорезонаторов с модами шепчущей галереи
В Главе 3 исследуется возможность создания высокочувствительных электрооптических

модуляторов на базе микрорезонаторов с модами шепчущей галереи. Проводится анализ режимов работы модулятора и построение математической и численной модели устройства. Рассмотрены тепловые шумы в микрорезонаторе. Создан комплекс программ для расч?та величины электрооптического взаимодействия в системе при различных конфигурациях радиочастотной части для последующей оптимизации, а также для расч?та тепловых шумов. Интерферометр Майкельсона, обсуждавшийся ранее, не единственный оптический прибор высокой точности. Существует более интересная с некоторых точек зрения (в частности с практической) резонансная система. Оптические микрорезонаторы с модами типа шепчущей галереи (MМШГ) впервые продемонстрированные на кафедре физики колебаний физического факультета МГУ в 1989 году в группе член-корр. РАН В. Б. Брагинского [19] сочетают высокую добротность (до

1011

), малые размеры (десятки микрон) и высокую концентрацию 13


оптического поля. Оптические микрорезонаторы с модами типа шепчущей галереи вызывают в настоящее время постоянно растущий интерес в связи с возможностями их применения в различных устройствах микрофотоники. ММШГ из плавленого кварца могут быть использованы в пассивных устройствах, таких как фильтры, дискриминаторы, датчики смещения, химические и биологические сенсоры и т. д. Революционным развитием ММШГ стала технология изготовления оптических резонаторов с модами шепчущей галереи из различных кристаллических материалов, что позволяет создавать активные устройства, такие как электрооптические модуляторы [20], при?мники [21] и оптоэлектронные генераторы [22]. В частности, в таких резонаторах, изготовленных из кристаллического флюорита (CaF2 ) была продемонстрирована рекордная оптическая добротность для компактных резонаторов

> 1011

[23]. Метод изготовления резонаторов с предельной добротностью, с использованием многократного отжига с последующими асимптотическими переполировками защищен патентом [24]. В последнее десятилетие большое внимание уделяется устройствам оптической передачи и обработки радиочастотных и СВЧ сигналов. Была разработана широкая гамма устройств, предназначенных для обработки радиочастотных и СВЧ сигналов непосредственно в оптическом диапазоне без обратного преобразования частоты. При этом используются преимущества оптических каналов связи большой емкости, позволяющих передавать информацию с большой скоростью, малыми потерями и малым потреблением энергии. Размеры и стоимость устройств оказываются гораздо ниже по сравнению с электронными устройствами, особенно устройствами СВЧ диапазона. Для реализации этой программы требуются эффективные электро-оптические амплитудные и фазовые модуляторы, оптические усилители, оптические фильтры, волноводы, разветвители, приемники и т. д. Перспективным базисным элементом для многих из таких устройств являются оптические микрорезонаторы с модами шепчущей галереи.
Во введении главы 3 приведено описание мод шепчущей галереи и приведены извест-

ные из публикаций результаты для шумов в микрорезонаторах и общие методы, которыми они были получены.
В первом разделе главы 3 рассматриваются нелинейные микрорезонаторы с мода-

ми шепчущей галереи (ММШГ) и электрооптические модуляторы. Малые размеры и высокая концентрация оптического поля в ММШГ позволяет ожидать сильное электрооптическое взаимодействие в резонаторах изготовленных из традиционных нелинейно-оптических кристаллов при надлежащем подборе оптических мод и конфигурации внешнего высокочастотного поля. Это позволит создавать эффективные оптические модуляторы и приемники. 14


Также многомодовость системы предоставляет богатый выбор режимов роботы модулятора. В 3 главе производится расч?т данного взаимодействия для различных конфигураций СВЧ поля. Произведено построение теории гармонической модуляции в многомодовой системе и показано, что колебание каждой моды состоит из двух частей. Первая несущая колеблется с частотой накачки с постоянной амплитудой накачки с данной модой модой

b

k , пропорциональной интегралу перекрытия

X

k . Вторая модулированная часть состоит из колебаний на

частотах сдвинутых относительно накачки на

+RF

, c амплитудами

a

+ k , пропорциональными

относительному сдвигу частоты сигнальной моды

=
где

1 = 2

D

W GM rij k i 0

W R Ek F Dj W W GM

GM

dV

(2.3.1)

D

W GM

и

W

W GM

комплексно-сопряж?нное поле электрического смещения и полная

энергия (удвоенная электрическая) сигнальной моды и ды накачки,

D

W GM

электрическое смещение мо-

rij

k электрооптический тензор. Такая формулировка удобна для численного

моделирования, так как вектор смещения проще всего получить из модели. При этом не используется тензор диэлектрической проницаемости, сильно усложняющий аналитические расч?ты. Случаи модуляции бегущей и стоячей волной (разомкнутый микрополосок) различаются только тем, является ли знака, или же их полусуммой. Ввиду цилиндрической симметрии задачи формула (2.3.1) частично проинтегрирована. Полученные аналитические соотношения определяют эффективность модуляции и ?правила отбора? для взаимодействующих мод. Для анализа взаимодействия необходимо ввести обобщ?нное азимутальное число



выражением с азимутальным числом соответствующего

M = mp - ms +

mRF , где l

mp , ms

и

mRF

азимутальные числа

накачки, сигнальной и радиочастотной моды, l угловая длина СВЧ резонатора. Отметим, что классические моды резонатора с сосредоточенной ?мкостью будут иметь

m

RF

= 0,

моды

кольцевого резонатора целые, а полуволнового микрополоскового резонатора полуцелые значения. При этом вычисления показывают, что ненулевое электрооптическое взаимодействие для

l = 1

возможно только в случае если

M

равно

0, +1, +2, +3.

В случае ниобата

лития за сч?т его внутренних симметрий допустимыми M остаются только

0, +3.

Для анализа конфигураций резонаторов применено численное моделирование методом конечных элементов. Это позволяет с хорошей точностью оценить собственные частоты резонаторов произвольной формы и материала и соответствующие распределения полей. Используя эти распределения можно рассчитать сдвиги резонансных частот оптических мод под действием радиочастотных мод, используя выражение (2.3.1). 15


Для численного моделирования распределения полей использовался пакет программ Comsol Multiphysics 4.4 (PDE модуль) и уравнения для полей в меридиальной (x

-z

) плоско-

сти (2D геометрия, цилиндрическая симметрия) в слабой (интегральной) форме. Для отбора и сортировки решений и последующей обработки использовались скрипты написанные на Matlab R2013b. Далее рассчитывалась СВЧ мода в том же поперечном сечении

r -z

при цилиндрической

симметрии. Считалось, что поле во вс?м пространстве представляется в виде

ERF (r, z )e

imrf

.

При численном моделировании некоторые задачи, такие как задача на собственные значения, имеют неопредел?нную амплитуду. Поэтому результат подобного моделирования поле, относительно которого писалась численная схема нужно нормировать на максимум. В нашем случае удобнее нормировать на корень электрической энергии СВЧ резонатора



WRF =

0

|E

RF

|2 /2dV

, как физически значимую величину: в эксперименте можно кон-

тролировать только СВЧ мощность, вводимую в резонатор и пересчитать в энергию внутри резонатора. В диссертации представлены кривые эффективности модуляции в зависимости от вида СВЧ резонатора и азимутальных чисел участвующих во взаимодействии мод. Проанализированы резонатор с сосредоточенной ?мкостью, микрополосковый резонатор (замкнутый кольцевой), микрополосковый резонатор (разомкнутый полуволновой), двукольцевой (два микрополоска), скошенный ММШГ. Получены квази-аналитические формулы для зависимости эффективности модуляции от секторной длины микрополоскового СВЧ резонатора. Показано, что максимальное взаимодействие с микрополосковой модой достигается при длине большей полуокружности.
Во втором разделе главы 3 вед?тся обсуждение шумов в ММШГ. Как заявлялось во

введении, практически все источники шумов и методы их расч?та, применявшиеся для зеркал гравитационных антенн, справедливы и для микрорезонаторов. Основной наблюдаемой для резонатора можно считать его резонансную частоту. Тогда, используя приближ?нное равенство для частоты моды

fm =

cm получим 2 Rn

f n R - - , f n R
где

(2.3.2)

R

радиус микрорезонатора,

n

его невозмущ?нный показатель преломления. Далее

производится разделение на броуновскую и тепловую ветви, аналогично многослойному зеркалу. Первый член в правой части равенства представляет в общем случае не что иное как (2.3.1) при постоянных вить в таком же виде с

^

и

^ =

ij rj kl

E

RF km . Можно показать, что второй можно предстаl
поле механических смещений.

^ = (u )^,

где

u

Далее на основе флуктуационно-диссипационной теоремы в представлении Левина [25, 16


26] проводится численное моделирование основных внутренних шумов (броуновского, фотоупругого, термоупругого, терморефрактивного) и их сравнение с привед?нными ранее выражениями. Показано, что не все выражения являются достаточно точными и что термоупругий шум не является пренебрежимо малым. Для случая модулятора рассмотрен дополнительный шум СВЧ части, названный электронным. Получено аналитическое выражение на основе квазиэмпирических формул для параметров микрополоска, показавшее неплохое совпадение с моделированием. В конце главы рассматривается вопрос чувствительности модулятора. При этом показывается, что представленные методы демонстрируют хорошее согласие с экспериментальными исследованиями других групп.
Итоги главы 3 В главе рассмотрена теория электрооптических модуляторов на основе

нелинейных микрорезонаторов с модами типа шепчущей галереи. Показано, что возможны различные способы организации работы электрооптического модулятора. Для усиления взаимодействия возможно использовать металлические резонаторы радиочастотного сигнала. При этом в силу цилиндрической симметрии радиочастотным модам можно так же приписать азимутальные числа. Взаимодействие оказалось максимально для небольшого числа комбинаций азимутальных чисел участвующих во взаимодействии мод. Для ниобата лития

" mRF

разрешены" комбинации

M = mp - ms + m

RF

= 0, +3,

а так же не целочисленные значения

(означающие незамкнутые микрополоски). Провед?нное численное моделирование электрооптического взаимодействия показало,

что металлический радиочастотный резонатор с сосредоточенной ?мкостью приводит к наиболее сильному электрооптическому взаимодействию. Двукольцевая модификация микрополоскового резонатора лучше обычной линии на 812%. При этом величина взаимодействия увеличивается с уменьшением толщины микрополосков и сравнивается с величиной для металлического резонатора при толщине микрополоска порядка 10 мкм (при

M = 0).

Разработан численный метод оценки внутренних тепловых шумов микрорезонатора. Проведено сравнение существующих формул для спектральных плотностей шумов в резонаторах различной формы с результатами моделирования. Показано, что за сч?т теплового взаимодействия с окружением спектральная плотность терморефрактивного шума практически не зависит от формы резонатора, то есть справедлива формула в приближении безграничного пространства. Также показано, что в случае модулятора его чувствительность будет определяться шумом СВЧ резонатора.

17


3. Основные результаты и выводы

1. Разработан метод точного расч?та фазовых шумов в диэлектрических многослойных покрытиях с уч?том проникания света внутрь покрытия и прохождения сквозь зеркало, а также метод расч?та для сред с плавно меняющимся показателем преломления. Выделены две ветви термодинамических шумов броуновские и температурные. Шумы внутри этих ветвей коррелированы и их рассмотрение должно проводиться совместно, так как возможны эффекты усиления или самоподавления. Показано, что за сч?т интерференции проникающего света во внешних слоях происходит ослабление броуновской ветви шума от 2% (простое покрытие) до 20 % (малое число сло?в).

2. Найден класс покрытий с неравными оптическими толщинами сло?в, максимизирующий коэффициент отражения. Оптимизация толщин сло?в внутри этого класса позволяет снизить шумы покрытия на 7 %. Другие рассмотренные методы подавления броуновских шумов в многослойных покрытиях либо не устойчивы, либо не дают лучшего результата.

3. Построены модели двух избыточных шумов шума спонтанной кристаллизации (расстеклования) и шума вязкого трения. Оценена плотность частоты событий расстеклования для плавленного кварца. Проведены оценки спектральной плотности и показано, что данные шумы не превышают уже известные шумы в гравитационных антеннах.

4. Разработана численная модель для оценки и оптимизации электрооптического взаимодействия в резонаторах с модами типа шепчущей галереи. Проанализированы различные режимы работы электрооптического модулятора на их основе и показана возможность улучшения взаимодействия за сч?т применения резонаторов специальной формы.

5. Разработан численный метод расч?та внутренних тепловых шумов микрорезонаторов с модами шепчущей галереи. Показана необходимость уч?та открытости системы на низких частотах при расч?те терморефрактивного и термоупругого шумов. Дан метод теоретической оценки чувствительности модулятора и показано определяющее действие электрических шумов СВЧ части устройства.

18


Список опубликованных статей
A1. Pavlov N. G., Kondratyev N. M., Goro detsky M. L. Mo deling the whisp ering gallery microresonator-based optical mo dulator // Appl. Opt. 10466. 2015. Vol. 54, No. 35. P. 10460

A2. Kondratiev N. M., Braginsky V. B., Vyatchanin S. P., Goro detsky M. L. Sp ontaneous crystallization noise in mirrors of gravitational wave detectors // Phys. Rev. D. 2015. Vol. 92. P. 041101.

A3. Herr T., Brasch V., ... Kondratiev N,... et al. Temp oral solitons in optical microresonators // Nature Photonics. 2014. Vol. 8, No. 2. P. 145152.

A4. Kondratiev N. M., Gurkovsky A. G., Goro detsky M. L. Thermal noise and coating optimization in multilayer dielectric mirrors // Phys. Rev. D. 2011. Vol. 84. P. 022001.

A5. Кондратьев Н. М., Городецкий М. Л. Электрооптическое взаимодействие в резонаторах с модами шепчущей галереи и их приложение в СВЧ-резонаторах // Известия РАН. Серия физическая. 2013. Т. 77, 12. С. 17401743.

A6. Кондратьев Н. М., Городецкий М. Л. СВЧ приемники и модуляторы на основе резонаторов с модами шепчущей галереи // УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. 2013. Т. 5, 7. С. 5659.

A7. Кондратьев Н. М., Городецкий М. Л. Электрооптическое взаимодействие в резонаторах с модами шепчущей галереи и СВЧ модуляторы на его основе // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал). 2012. 11.

Литература
1. B. P. Abb ott et. al. LIGO: the Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory // Rep orts on Progress in Physics. 2009. Vol. 72, No. 7. P. 076901.

2.

Harry G. M., The LIGO Scientic Collab oration. Advanced LIGO: the next generation of gravitational wave detectors // Classical and Quantum Gravity. 2010. Vol. 27, No. 8. P. 084006.

3.

The LIGO Scientic Collab oration, Aasi J., et.al. B. P. A. Advanced LIGO // Classical and Quantum Gravity. 2015. Vol. 32, No. 7. P. 074001. 19


4.

Goro detsky M. L. Thermal noises and noise comp ensation in high-reection multilayer coating // Physics Letters A. 2008. Vol. 372, No. 46. P. 6813 6822.

5.

Городецкий,

М.Л.

Оптические

микрорезонаторы

с

гигантской

добротностью.

Фундаментальная и прикладная физика. Физматлит. 2011. ISBN: 9785922112833.

6.

Ilchenko V. S., Yao X. S., Maleki L., Lute Y. Microsphere Integration in Active and Passive Photonics Devices // Pro c. SPIE. 2000. Vol. 3930.

7.

Ilchenko V. S., Maleki L. Novel whisp ering-gallery resonators for lasers, mo dulators, and sensors // Pro c. SPIE. 2001. Vol. 4270. P. 120130.

8.

Herr T., Hartinger K., Riemensb erger J. et al. Universal formation dynamics and noise of Kerr-frequency combs in microresonators // Nature Photonics. 2012. Vol. 6, No. 7. P. 480 487.

9.

Braginsky V., Goro detsky M., Vyatchanin S. Thermo dynamical uctuations and photothermal shot noise in gravitational wave antennae // Physics Letters A. No. 1. P. 1 10. 1999. Vol. 264,

10. Braginsky V., Vyatchanin S. Thermo dynamical uctuations in optical mirror coatings // Physics Letters A. 2003. Vol. 312, No. 34. P. 244 255.

11. Braginsky V., Goro detsky M., Vyatchanin S. Thermo-refractive noise in gravitational wave antennae // Physics Letters A. 2000. Vol. 271, No. 56. P. 303 307.

12. Salleo A., Taylor S. T., Martin M. C. et al. Laser-driven formation of a high-pressure phase in amorphous silica // Nature materials. 2003. Vol. 2, No. 12. P. 796800.

13. Grujicic M., Snip es J., Ramaswami S. et al. Densication and Devitrication of Fused Silica Induced by Ballistic Impact: A Computational Investigation // Journal of Nanomaterials. 2015. Vol. 2015, No. Article ID 650625. P. 14.

14. Berthold J. W., Jacobs S. F., Norton M. A. Dimensional Stability of Fused Silica, Invar, and Several Ultra-low Thermal Expansion Materials // Metrologia. 1977. Vol. 13, No. 1. P. 9.

15. Riehle F. Use of optical frequency standards for measurements of dimensional stability // Measurement Science and Technology. 1998. Vol. 9, No. 7. P. 1042.

16. Takahashi A. Long-term dimensional stability and longitudinal uniformity of line scales made of glass ceramics // Measurement Science and Technology. 2010. Vol. 21, No. 10. P. 105301. 20


17. Levin Y. Creep events and creep noise in gravitational-wave interferometers: Basic formalism and stationary limit // Phys. Rev. D. 2012. Vol. 86. P. 122004.

18. Vannoni M., Sordini A., Molesini G. Fused silica long-term stability: case studies // Pro c. SPIE. 2011. Vol. 8169. P. 8169068169066.

19. Braginsky V., Goro detsky M., Ilchenko V. Quality-factor and nonlinear prop erties of optical whisp ering-gallery mo des // Physics Letters A. 1989. Vol. 137, No. 78. P. 393 397.

20. Cohen D., Hossein-Zadeh M., Levi A. Microphotonic mo dulator for microwave receiver // Electronics Letters. 2001. Vol. 37. P. 300301(1).

21. Ayazi A., Hsu R. C. J., Houshmand B. et al. All-dielectric photonic-assisted wireless receiver // Opt. Express. 2008. Vol. 16, No. 3. P. 17421747.

22. Matsko A. B., Maleki L., Savchenkov A. A., Ilchenko V. S. Whisp ering gallery mo de based opto electronic microwave oscillator // Journal of Mo dern Optics. 2003. Vol. 50, No. 15-17. P. 25232542.

23. Savchenkov A. A., Matsko A. B., Ilchenko V. S., Maleki L. Optical resonators with ten million nesse // Opt. Express. 2007. Vol. 15, No. 11. P. 67686773.

24. Savchenkov A., Matkso A., Iltchenko V., Maleki L. Metho d of fabricating a whisp ering gallery mo de resonator. 2011. US Patent 8,057,283.

25. Levin Y. Internal thermal noise in the LIGO test masses: A direct approach // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 57. P. 659663.

26. Levin Y. Fluctuationdissipation theorem for thermo-refractive noise // Physics Letters A. 2008. Vol. 372, No. 12. P. 1941 1944.

21