Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.philol.msu.ru/~lex/khmelev/proceedings/thpr/thpr1999.ps Дата изменения: Thu Oct 17 00:00:00 2002 Дата индексирования: Sat Dec 22 20:26:41 2007 Кодировка: Windows-1251

Большие транспортные сети с
конечномерным пространством состояний.
Асимптотический подход.
Л.Г. Афанасьева, Д.В. Хмел?в
1999
Рассмотрим сеть из N узлов (станций), которые делятся на n районов.
При увеличении N количество районов остается неизменным. Количество
станций в районе j равно d N
j N , P n
j=1 d N
j = 1, d N
j N  целое число для
всякого j и N . Существуют такие d j > 0, что
p
N(d N
j d j ) N!1
! 0 для j =
1; n. Далее j и v обозначают номер района и могут принимать значения
от 1 до n. На станцию в j-м районе требования поступают пуассоновским
потоком с интенсивностью  j . Если на станции есть обслуживающий
прибор, то, в соответствии со стохастической матрицей P = fp jv g j;v=1;n ,
требование вместе с прибором направляется на станцию в v-го района,
которая он выбирает равновероятно среди всех станций v-го района.
Обслуживание требования состоит в его перемещении с одной станции
до другой.
В [1] рассмотрена полностью симметричная сеть. Наша модель является
обобщением [1] в сторону асимметрии. Время перемещения от станции
j-го района до станции v-го района распределено экспоненциально с
параметром  jv . Время движения между станциями внутри j-го района
также экспоненциально распределено с параметром  jj . Если на станции
нет ни одного прибора и есть места ожидания, то требовование встает
в очередь, иначе требование теряется для системы. Все станции v-го
района однотипны  на каждой из них может базироваться не более m v
автомобилей и на каждой k v мест для пассажиров. Если прибор, который
прибыл в v-тый район, не находит свободной стоянки, то он направляется
(без требования) в район l в соответствии со стохастической матрицей
1

e
P = f~p vl g v;l=1;n ; станция l-го района выбирается равновероятно среди
d N
l N станций района. Первоначально на всех станциях в j-м районе
находится r j автомобилей, где r j  целые числа от 1 до m j . Потребуем,
чтобы матрица P e
P обладала единственной инвариантной мерой  = ( 1 ,
. . . ,  n ) T :  T P e
P =  T ,  1 + : : :  n = 1,   0.
Обозначим через x j;i (t) долю узлов в состоянии i в районе j среди
всех N станций, Pm j
i= k j
x j;i (t) = d N
j ; через f
M jv (t) количество приборов,
которые покинули j-тый район и в момент t направляются на станцию в
v-м районе. Определим процесс M jv (t) = f
M jv (t)=N . Запишем состояние
системы как вектор x 2 R  длиной  = n 2 +
P n
v=1 (k v + m v + 1): x =
(M 11 , M 12 , : : :, M 1n , M 21 , : : :, M nn , x 1; k1 , x 1; k1+1 , : : :, x 1;m1 , x 2; k2 , : : :,
x n;mn ). Для фиксированного N случайный процесс X N
t = x(t) является
эргодичной цепью Маркова.
Пусть x t (x)  решение следующей системы дифференциальных уравнений
с начальным условием x 0 (x) = x: для j, v = 1; n
_
x j; k j
= ( j d j x j; k j +1 M j x j; k j
)=d j ;
_
x j;i = ( j d j x j;i+1 ( j d j +M j )x j;i +M j x j;i 1 )=d j ; (1)
_
x j;m j
= (  j d j x j;m j
+M j x j;m j 1 )=d j ;
_
M jv = p jv ( j d j S +
j +M j S j )  jv M jv + d j M j x j;m j
~
p jv ; (2)
где S +
j  d j
Pm j
i=1 x j;i , S j  d j
P 1
i= k j
x j;i , M j =
P n
l=1  lj M lj . Обозначим
через " x распределение, сосредоточенное в точке x 2 R  .
Теорема 1. Пусть X N
0 ! " x слабо. Справедливы утверждения
(i) sup
st
jX N
s x s (x)j P
! 0 для всех t  0 при N !1.
(ii) Процессы
p
N(X N
t x t (x)) сходятся по распределению к непрерывному
процессу с независимыми приращениями Y с ковариационной функцией
^
C(x), где ^
C(x) =
t
R
0
^ c(x s (x))ds, а c: R  ! R  2
 некоторая явная матричная
функция.
Полученные результаты позволяют изучать характеристики X N
t посредством
изучения нелинейной динамической системы x t (x), которая, как показывает
имитационное моделирование, является хорошим приближением.
[1] L.G. Afanassieva, G. Fayolle, S.Yu. Popov. Models for transportation
networks.
2