KOI
WIN
LATEX
PS
PDF
Большие транспортные сети с конечномерным
пространством состояний. Асимптотический подход.
Л.Г. Афанасьева, Д.В. Хмелёв
1999
Рассмотрим сеть из N узлов (станций),
которые делятся на n районов.
При увеличении N количество районов
остается неизменным. Количество станций в районе j равно
dNj N, Еj = 1n dNj = 1, dNjN - целое число для всякого j
и N. Существуют такие dj > 0, что
жN(djN-dj)[( N®Ґ) || (® )]0
для j = [`1,n].
Далее j и v обозначают номер района
и могут принимать значения от 1 до n.
На станцию в j-м районе
требования поступают пуассоновским потоком с интенсивностью lj.
Если на станции есть
обслуживающий прибор, то, в соответствии со
стохастической
матрицей P = {pjv}j,v = [`1,n], требование
вместе с прибором направляется
на станцию в v-го района, которая он выбирает
равновероятно среди всех станций v-го района.
Обслуживание требования состоит в его перемещении с
одной станции до другой.
В [1] рассмотрена полностью симметричная сеть. Наша модель является
обобщением [1] в сторону асимметрии.
Время перемещения от станции j-го
района до станции v-го района распределено экспоненциально
с параметром mjv. Время движения между станциями внутри
j-го района также экспоненциально распределено с параметром
mjj. Если на станции нет ни одного прибора
и есть места ожидания, то требовование встает в очередь, иначе
требование теряется для системы.
Все станции v-го района однотипны - на каждой из них может
базироваться
не более mv автомобилей и на каждой kv мест для пассажиров.
Если прибор, который прибыл в v-тый район, не находит свободной
стоянки, то он направляется (без требования) в район l в соответствии
со стохастической матрицей [P\tilde] = {[p\tilde]vl}v,l = [`1,n];
станция l-го района выбирается равновероятно среди dNlN станций
района. Первоначально на всех станциях в j-м районе находится rj
автомобилей, где rj - целые числа от 1 до mj.
Потребуем, чтобы матрица P[P\tilde] обладала единственной
инвариантной мерой p = (p1, ..., pn)T: pTP[P\tilde] = pT, p1+јpn = 1, p Ё 0.
Обозначим через xj,i(t) долю узлов в состоянии i в районе j
среди всех N станций,
Еi = -kjmjxj,i(t) = dNj;
через [M\tilde]jv(t) количество приборов,
которые покинули j-тый район
и в момент t направляются на станцию в v-м районе. Определим процесс
Mjv(t) = [M\tilde]jv(t)/N.
Запишем состояние системы как вектор x н Ra длиной
a = n2+Еv = 1n (kv+mv+1):
x = (M11, M12, ј, M1n, M21, ј,
Mnn, x1,-k1, x1,-k1+1, ј, x1,m1, x2,-k2, ј, xn,mn).
Для фиксированного N случайный процесс XNt = x(t) является
эргодичной цепью Маркова.
Пусть xt(x) - решение следующей системы дифференциальных
уравнений с начальным условием x0(x) = x:
для j, v = [`1,n]
|
|
|
|
(lj dj xj,-kj+1 - Mj xj,-kj )/dj, |
| |
|
|
(lj dj xj,i+1- (lj dj + Mj )xj,i + Mj xj,i-1)/dj, |
| (1) | |
|
|
(-lj dj xj,mj + Mj xj,mj-1 )/dj, |
| |
|
| pjv |
Ф
Х
|
lj dj Sj++ Mj Sj- |
Ж
Ь
|
-mjvMjv+ dj Mj xj,mj |
~
p
|
jv
|
, |
| (2) |
|
где Sj+ є djЕi = 1mj xj,i,
Sj- є djЕi = -kj-1xj,i,
Mj = Еl = 1n mlj Mlj.
Обозначим через ex распределение, сосредоточенное в точке
x н Ra.
Теорема 1.
Пусть X0N ® ex слабо.
Справедливы утверждения
(i)
sups ё t |XNs-xs(x)|[ P || (® )] 0 для всех
t Ё 0 при N®Ґ.
(ii) Процессы
жN(XNt-xt(x)) сходятся по распределению к непрерывному
процессу с независимыми приращениями Y с ковариационной функцией
[^C](x), где [^C](x) = Р0t [^c](xs(x))ds,
а c: Ra®Ra2 - некоторая явная матричная функция.
Полученные результаты позволяют изучать характеристики XNt
посредством изучения нелинейной динамической системы xt(x), которая,
как показывает имитационное моделирование, является хорошим
приближением.
[1] L.G. Afanassieva, G. Fayolle, S.Yu. Popov.
Models for transportation networks.
Last modified Fri May 24 19:47:01 BST 2002