Научная Сеть >> Колебания. Краткий конспект лекций.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны >> Электрические колебания | Курсы лекций

См. также

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Колебания. Краткий конспект лекций.

П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.

Найдем период колебаний. Если упругое свойство симметрично относительно среднего положения системы, то время движения маятника от крайнего положения к среднему равно четверти периода колебаний. Тогда

$T = - 4{\displaystyle \int\limits_{\varphi 0}^{0} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2\omega _{0}^{2} {\displaystyle \int\limits_{\varphi }^{\varphi 0} {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi } }} }}}} } = 4{\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi 0} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2\omega _{0}^{2} {\displaystyle \int\limits_{\varphi }^{\varphi 0} {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi } }} }}}} },$

(a)

где крайнее положение (максимальное отклонение) имеет координату $\varphi _{0} ,$ а среднее координату равную нулю.

Рассмотрим частный случай

Пусть имеется система, представляющая собой физический маятник.

Физический маятник - твердое тело, колеблющееся в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

$\vec {\displaystyle M} = J \cdot \vec {\displaystyle \varepsilon }$

Момент, действующий на маятник, является некоторой функцией угла поворота.

$M = - mgL \cdot \sin \left( {\displaystyle \varphi } \right),$

тогда

$- mgL \cdot \sin \left( {\displaystyle \varphi } \right) = J{\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}\varphi }}{{\displaystyle dt^{2}}}}$

Введем обозначение $\omega _{0} = \sqrt {{\displaystyle \frac{{\displaystyle mgL}}{{\displaystyle J}}}} ,$ получим

${\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}\varphi }}{{\displaystyle dt^{2}}}} + \omega _{0}^{2} \cdot \sin \left( {\displaystyle \varphi } \right) = 0.$

Т.е. в данном случае $f\left( {\displaystyle \varphi } \right) = \sin \left( {\displaystyle \varphi } \right),$ тогда, применив выражение (a), получим

$T = 4{\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi 0} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2\omega _{0}^{2} {\displaystyle \int\limits_{\varphi }^{\varphi 0} {\displaystyle \sin \left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi } }} }}}} } = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle \omega _{0} \sqrt {\displaystyle 2} }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi 0} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle \cos \left( {\displaystyle \varphi } \right) - \cos \left( {\displaystyle \varphi _{0} } \right)} }}} = } }{\displaystyle \frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle \omega _{0} }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi 0} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle \sin ^{2}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right) - \sin ^{2}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi }}{{\displaystyle 2}}}} \right)} }}}} }$

(b)

Вводя обозначение $k = \sin \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right)$ и новую переменную $\theta ,$ так что

$\sin \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi }}{{\displaystyle 2}}}} \right) = k\sin \theta = \sin \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right)\sin \theta .$

Получим

$d\varphi = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2k\cos \theta \cdot d\theta }}{{\displaystyle \sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - k^{2}\sin ^{2}\theta } \right]}} }}}.$

Из выражения (b) получаем окончательно для периода колебаний

$T = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle \omega _{0} }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{{{\displaystyle \pi } / {\displaystyle 2}}} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\theta }}{{\displaystyle \sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - k^{2}\sin ^{2}\theta } \right]}} }}}} }$

(c)

Выражение (c) - это полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода, численное решение которого можно взять из таблиц. [С.П. Тимошенко, 1959] Однако, поскольку $k \lt 1,$ решение можно получить в виде бесконечного ряда [Г. Корн, Т. Корн, 1984].

$\int\limits_{0}^{{{\displaystyle \pi } / {\displaystyle 2}}} {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\theta }}{{\displaystyle \sqrt {{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - k^{2}\sin ^{2}\theta } \right]}} }}}} } = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}} \right)^{2}\sin ^{2}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right) + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}} \cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}}}} \right)^{2}\sin ^{4}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right) + \ldots } \right]$

Тогда выражение (c) можно преобразовать к виду [М.М. Гернет, 1987]

$T = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}} \right)^{2}\sin ^{2}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right) + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}} \cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}}}} \right)^{2}\sin ^{4}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right) + \ldots } \right]}.$

(d)

Если ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}} \to 0$ (мало), тогда можно считать, что $\sin \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}} \right) \approx {\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0} }}{{\displaystyle 2}}}$ и выражение (d) принимает вид

$T \approx {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0}^{2} }}{{\displaystyle 16}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle 9 \cdot \varphi _{0}^{4} }}{{\displaystyle 1024}}}} \right]} \approx {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \varphi _{0}^{2} }}{{\displaystyle 16}}}} \right]}$

Если выражением $k^{2}\sin ^{2}\theta$ можно пренебречь, то при предельном переходе получим

$T = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle \omega _{0} }}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{{{\displaystyle \pi } / {\displaystyle 2}}} {\displaystyle d\theta = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}} }$

формулу для периода колебаний физического маятника с линейной восстанавливающей силой.

Из истории физики известно, что независимость периода колебаний от амплитуды при малых колебаниях, была замечена Галилеем. Т.е. только малые колебания являются гармоническими. Это связано с тем, что только при малых отклонениях от положения равновесия можно считать, что возвращающая сила пропорциональна смещению. Поэтому период колебаний (или частота) не будут зависеть от амплитуды колебаний, а будут зависеть только от свойств системы.

1.4. Краткие выводы.

Свободные колебания возникают под действием внутренних сил в системе, которая была выведена из положения равновесия.
Если восстанавливающая сила пропорциональна смещению системы из положения равновесия, то колебания будут гармоническими. Частота и период не зависят от амплитуды колебаний.
Частота свободных колебаний зависит только от свойств системы.
Амплитуда свободных колебаний зависит от начальных условий.
Если в системе отсутствуют силы сопротивления, то колебания будут незатухающими, т.е. будут продолжаться сколь угодно долго.
Если в системе действуют силы сопротивления, то колебания будут затухающими, т.е. не будут продолжаться сколь угодно долго. Их амплитуда будет уменьшаться с течением времени.
Вид зависимости амплитуды от времени зависит от вида функции сопротивления. Подобная зависимость впервые была отмечена Ньютоном. Если $F_{c} \sim \upsilon ^{n},$ тогда $\Delta A\sim A^{n}.$ Т.е., если сила сопротивления пропорциональна скорости (первой производной координаты по времени), то амплитуда колебаний будет убывать по экспоненциальному закону.
Коэффициент затухания зависит от свойств системы.
Если восстанавливающая сила не является линейной функцией смещения системы из положения равновесия, то колебания будут негармоническими. Частота и период будут зависеть от амплитуды колебаний.

2. Вынужденные колебания

2.1. Вынужденные колебания в системе без затухания

(На примере пружинного маятника.)

Пусть на пружинный маятник действует периодическая внешняя сила (см. рис. 2.1.1).

$F\left( {\displaystyle t} \right) = F_{0} \cos \left( {\displaystyle \Omega t + \theta } \right)$

Тогда уравнение движения груза

$\vec {\displaystyle F}_{Упр} + \vec {\displaystyle F}\left( {\displaystyle t} \right) = m\vec {\displaystyle a}$

в скалярной форме можно привести к виду

$m{\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}x}}{{\displaystyle dt^{2}}}} + k \cdot x = F_{0} \cos \left( {\displaystyle \Omega t + \theta } \right)$

или

${\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}x}}{{\displaystyle dt^{2}}}} + \omega _{0}^{2} x = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m}}}\cos \left( {\displaystyle \Omega t + \theta } \right).$

(11)

Выражение (11) - это дифференциальное уравнение вынужденных гармонических незатухающих колебаний.

Рис. 2.1.1

Решение уравнения (11) будем искать в виде:

$x(t) = x_{1} \left( {\displaystyle t} \right) + x_{2} \left( {\displaystyle t} \right)$

(12)

Где $x_{1} (t) = C_{1} \cos (\omega _{0} t) + C_{2} \sin (\omega _{0} t)$ - решение, соответствующее собственным гармоническим незатухающим колебаниям, $x_{2} \left( {\displaystyle t} \right)$ - решение, соответствующее вынужденным гармоническим колебаниям.

Возможны три случая:

1. Случай отсутствия резонанса (условие $\omega _{0} \ne \Omega$ )

В этом случае частное решение следует искать в виде $x_{2} (t) = B\cos (\Omega t + \theta ).$ Подставим решение в уравнение (11) и определим $В$ .

$\begin{array}{l} - \Omega ^{2}B\cos (\Omega t + \theta ) + \omega _{0}^{2} B\cos (\Omega t + \theta ) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m}}}\cos (\Omega t + \theta ){\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle } \hfill & {\displaystyle \Rightarrow } \hfill \\ \end{array} } \\ - \Omega ^{2}B\cos (\Omega t + \theta ) + \omega _{0}^{2} B\cos (\Omega t + \theta ) - {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m}}}\cos (\Omega t + \theta ) = 0 \\ \end{array}$

Т.к. косинус переменного аргумента равен нулю не для всех значений времени, то равенство выполняется только тогда, когда

$- \Omega ^{2}B + \omega _{0}^{2} B - {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m}}} = 0$

Отсюда

$B = {\displaystyle \frac{{\displaystyle F_{0} }}{{\displaystyle m\left( {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \Omega ^{2}} \right)}}}$

(13)

Назад| Вперед

П.В.Кузьмин

Написать комментарий