Научная Сеть >> Колебания. Краткий конспект лекций.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны >> Электрические колебания | Курсы лекций

См. также

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Колебания. Краткий конспект лекций.

П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.

Чтобы найти $A_{1}$ и $A_{2 }$ воспользуемся начальными условиями, т.е. необходимо знать значение координаты и скорости в начальный момент времени. Пусть

$x_{0} = x\left( {\displaystyle 0} \right),{\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle } \hfill & {\displaystyle } \hfill \\ \end{array} }\upsilon _{0} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle dx\left( {\displaystyle 0} \right)}}{{\displaystyle dt}}}.$

Тогда с учетом этого и выражения (8) получим следующее

$x_{0} = A_{1} + A_{2} ,{\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle } \hfill & {\displaystyle } \hfill \\ \end{array} }\upsilon _{0} = - \beta \left( {\displaystyle A_{1} + A_{2} } \right) + i \cdot \omega \left( {\displaystyle A_{1} - A_{2} } \right).$

Откуда

$A_{1} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} }}{{\displaystyle 2}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} \beta + \upsilon _{0} }}{{\displaystyle 2i\omega }}},{\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle } \hfill & {\displaystyle } \hfill \\ \end{array} }A_{2} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} }}{{\displaystyle 2}}} - {\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} \beta + \upsilon _{0} }}{{\displaystyle 2i\omega }}}.$

Подставим постоянные интегрирования в выражение и получим. И это правильно, т.к. решение уравнения должно быть действительным, поэтому коэффициенты комплексно-сопряженные.

$x(t) = {\displaystyle \left[ {{\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} }}{{\displaystyle 2}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} \beta + \upsilon _{0} }}{{\displaystyle 2i\omega }}}} \right]}\exp ( - \beta + i\omega t) + {\displaystyle \left[ {{\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} }}{{\displaystyle 2}}} - {\displaystyle \frac{{\displaystyle x_{0} \beta + \upsilon _{0} }}{{\displaystyle 2i\omega }}}} \right]}\exp ( - \beta - i\omega t).$

Используя представление Эйлера для комплексных чисел, и взяв только действительную часть (именно она будет описывать реально происходящие физические процессы), получим

$x(t) = x_{0} e^{ - \beta t}\cos (\omega t) + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \upsilon _{0} }}{{\displaystyle \omega }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta x_{0} }}{{\displaystyle \omega }}}} \right)e^{ - \beta t}\sin (\omega t)$

(10)

Выражение (10) можно привести к виду

$x(t) = X_{0} e^{ - \beta t}\cos (\omega t + \varphi _{0} ),$

где амплитуда - $X_{0} = \sqrt {\displaystyle x_{0}^{2} + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \upsilon _{0} }}{{\displaystyle \omega }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta x_{0} }}{{\displaystyle \omega }}}} \right)^{2}} ,\quad \varphi _{0} = arctg\left( {\displaystyle - {\displaystyle \left[ {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \upsilon _{0} }}{{\displaystyle \omega x_{0} }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta }}{{\displaystyle \omega }}}} \right]}} \right)$ - начальная фаза, $\omega = \sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \beta ^{2}}$ - частота собственных затухающих колебаний.

Амплитуда и начальная фаза находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний и коэффициент затухания - через параметры колебательной системы (см. рис. 1.2.2).

Рис. 1.2.2

Амплитуда убывает экспоненциально.

$X(t) = X_{0} e^{ - \beta t}.$

Если за некоторый промежуток времени известно изменение амплитуды, то коэффициент затухания можно найти по формуле:

$\beta = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \Delta t}}}\ln {\displaystyle \left[ {{\displaystyle \frac{{\displaystyle X\left( {\displaystyle t} \right)}}{{\displaystyle X\left( {\displaystyle t + \Delta t} \right)}}}} \right]}.$

Экспоненциальная зависимость амплитуды от времени характерна только для вязкого затухания, т.е. когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения. Факт, что вид функции затухания амплитуды связан с видом функции сопротивления, был отмечен Ньютоном.

Дополнительно для описания затухающих колебаний используется еще одна величина.

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды колебаний в некоторый момент времени к амплитуде колебаний через один период.

$\chi = \ln {\displaystyle \left[ {{\displaystyle \frac{{\displaystyle X\left( {\displaystyle t} \right)}}{{\displaystyle X\left( {\displaystyle t + T} \right)}}}} \right]} = \beta \cdot T = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2\pi \beta }}{{\displaystyle \omega }}}.$

Замечания о скорости и ускорении.

Скорость:

$\upsilon (t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle dt}}} = X_{0} \cdot e^{ - \beta t}\left( {\displaystyle - \beta \cos (\omega t + \varphi _{0} ) - \omega \sin (\omega t + \varphi _{0} )} \right),$

или если умножить и разделить правую часть выражения на $\omega _{0},$ то

$\upsilon (t) = \omega _{0} X_{0} \cdot e^{ - \beta t}\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}\cos (\omega t + \varphi _{0} ) - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega }}{{\displaystyle \omega _{0} }}}\sin (\omega t + \varphi _{0} )} \right).$

Если ввести угол, определяемый условиями $\cos \vartheta = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta }}{{\displaystyle \omega _{0} }}},\quad \sin \vartheta = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega }}{{\displaystyle \omega _{0} }}},$ тогда:

$\upsilon (t) = \omega _{0} X_{0} \cdot e^{ - \beta t}\cos \left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} + \vartheta } \right)$

Значение угла $\vartheta$ заключено в интервале ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}} \lt \vartheta \lt \pi .$ (Из каких соображений можно сделать такой вывод?) Т.о. при наличии в системе сил сопротивления скорость опережает по фазе координату больше, чем на ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}}.$

Ускорение.

$a(t) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle d\upsilon }}{{\displaystyle dt}}} = \omega _{0} X_{0} \cdot e^{ - \beta t}\left( {\displaystyle - \beta \cos (\omega t + \varphi _{0} + \vartheta ) - \omega \sin (\omega t + \varphi _{0} + \vartheta )} \right).$

Проделывая ту же процедуру, что и раньше, получим

$a(t) = \omega _{0}^{2} X_{0} e^{ - \beta t}\cos \left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} + 2\vartheta } \right),$

т.е. ускорение опережает скорость также на угол $\vartheta$ , который изменяется от $\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}$ до $\pi .$

Если $\beta = \omega _{0} ,$ тогда говорят о критическом затухании. Если подставить значения коэффициента затухания и собственной частоты колебаний, то для величины критического затухания получим

$\delta _{кр} = 2\sqrt {\displaystyle k \cdot m} .$

Решение уравнения (7) будет иметь вид:

$x(t) = A\exp ( - \beta \cdot t),$

где $\lambda = - \beta .$

1.3. Свободные колебания систем с нелинейной восстанавливающей силой

Рассмотрим, например, незатухающие колебания крутильного маятника. За координату выберем угол поворота. Возвращающая сила при больших отклонениях (при больших углах поворота) от положения равновесия не является линейной.

Запишем уравнение движения, составленное по 2-му закону Ньютона для вращательного движения.

$\vec {\displaystyle M} = J \cdot \vec {\displaystyle \varepsilon }$

Момент, действующий на маятник, является некоторой функцией угла поворота.

$M = - c \cdot f\left( {\displaystyle \varphi } \right),$

знак минус говорит о том, что момент является возвращающим, т.е. действует в направлении противоположном смещению из положения равновесия. Тогда

$- c \cdot f\left( {\displaystyle \varphi } \right) = J{\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}\varphi }}{{\displaystyle dt^{2}}}}$

Введем обозначение $\omega _{0} = \sqrt {{\displaystyle \frac{{\displaystyle c}}{{\displaystyle J}}}}$ (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно приведем к виду:

${\displaystyle \frac{{\displaystyle d^{2}\varphi }}{{\displaystyle dt^{2}}}} + \omega _{0}^{2} \cdot f\left( {\displaystyle \varphi } \right) = 0.$

Вторую производную по времени преобразуем к виду

$\frac{{\displaystyle d^{2}\varphi }}{{\displaystyle dt^{2}}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle dt}}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle dt}}}} \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle d\varphi }}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle dt}}}} \right){\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle d\varphi }}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle dt}}}} \right)^{2}} \right]$

Тогда уравнение движения принимает вид

${\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle d\varphi }}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle dt}}}} \right)^{2}} \right]} + \omega _{0}^{2} \cdot f\left( {\displaystyle \varphi } \right) = 0.$

Предполагая, что маятник находится в положении максимального удаления от положения равновесия, получим

$\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle dt}}}} \right)^{2} = - \omega _{0}^{2} \cdot {\displaystyle \int\limits_{\varphi 0}^{\varphi } {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi } } = \omega _{0}^{2} \cdot {\displaystyle \int\limits_{\varphi }^{\varphi 0} {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi }$

Это означает, что для любого положения колеблющегося маятника его кинетическая энергия равна разности накопленной (максимальной) потенциальной энергии и потенциальной энергии в рассматриваемый момент времени.

Выразим

$dt = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2\omega _{0}^{2} {\displaystyle \int\limits_{\varphi }^{\varphi 0} {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi } }} }}}.$

Знак минус принят потому, что в рассматриваемых начальных условиях угол $\varphi$ с течением времени убывает.

Интегрируя, получаем

$t = - {\displaystyle \int\limits_{\varphi 0}^{\varphi } {{\displaystyle \frac{{\displaystyle d\varphi }}{{\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2\omega _{0}^{2} {\displaystyle \int\limits_{\varphi }^{\varphi 0} {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varphi } \right)d\varphi } }} }}}} }.$

Откуда можно вычислить время, необходимое для достижения маятником любого заданного положения.

Назад| Вперед

П.В.Кузьмин

Написать комментарий