Научная Сеть >> Колебания. Краткий конспект лекций.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны >> Электрические колебания | Курсы лекций

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Колебания. Краткий конспект лекций.

П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.

Содержание

9. "Уравнение телеграфистов"

Используя представления о квазистационарном токе можно, с некоторыми допущениями, рассмотреть быстропеременные токи и вывести уравнение, используемое для писания этих токов c точки зрения теории электромагнитных колебаний, так называемое "уравнение телеграфистов".

Рассмотрим прямолинейный участок провода длиной dz, по которому протекает ток $I.$ Пусть активное сопротивление единицы длины проводника равно $R^{\ast },$ индуктивность единицы длины $L^{\ast },$ электроемкость единицы длины $C^{\ast }.$ Поскольку длина проводника мала, то на этом участке ток можно считать квазистационарным и для этого участка можно применить закон Ома (см. п.6.3).

$R^{\ast }dz \cdot I = \varphi _{1} - \varphi _{2}$

Разность потенциалов на участке, учитывая его малость, можно представить в виде

$\varphi _{1} - \varphi _{2} = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial \varphi }}{{\displaystyle \partial z}}}dz$

Тогда для закона Ома получим следующее выражение:

$R^{\ast }dz \cdot I = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial \varphi }}{{\displaystyle \partial z}}}dz$

С учетом явления самоиндукции (второе слагаемое описывает ЭДС самоиндукции участка)

$R^{\ast }dz \cdot I = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial \varphi }}{{\displaystyle \partial z}}}dz - L^{\ast }dz \cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial I}}{{\displaystyle \partial t}}}$

(64)

Потенциал можно выразить через заряд и электроемкость проводника

$\varphi = {\displaystyle \frac{{\displaystyle q^{\ast }}}{{\displaystyle C^{\ast }}}},$

где $q^{\ast }$ и $C^{\ast }$ - заряд и электроемкость единицы длины проводника. Тогда

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial \varphi }}{{\displaystyle \partial z}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial z}}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle q^{\ast }}}{{\displaystyle C^{\ast }}}}} \right)$

(65)

Подставим выражение (65) в выражение (64), получим

$L^{\ast }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial I}}{{\displaystyle \partial t}}} + R^{\ast }I + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial z}}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle q^{\ast }}}{{\displaystyle C^{\ast }}}}} \right) = 0$

(67)

Заряд элемента проводника может измениться с течением времени только из-за того, что сила тока, "втекающего" в этот элемент, и сила тока, "вытекающего" из него, различны, т.е. если сила тока зависит от координаты. Причем заряд элемента проводника возрастает со временем, если сила тока уменьшается по мере роста значения координаты (отсюда знак минус), т.е.

$\frac{{\displaystyle \partial q^{\ast }}}{{\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial I}}{{\displaystyle \partial z}}$

Дифференцируем выражение (67) по времени и подставляем производную заряда. Тогда

$L^{\ast }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial ^{2}I}}{{\displaystyle \partial t^{2}}}} + R^{\ast }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial I}}{{\displaystyle \partial t}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial }}{{\displaystyle \partial z}}}\left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle C^{\ast }}}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial I}}{{\displaystyle \partial z}}}} \right) = 0$

Если электроемкость не зависит от координаты, то ее можно вынести за знак производной. Окончательно получим:

$L^{\ast }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial ^{2}I}}{{\displaystyle \partial t^{2}}}} + R^{\ast }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial I}}{{\displaystyle \partial t}}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle C^{\ast }}}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \partial ^{2}I}}{{\displaystyle \partial z^{2}}}} = 0$

(68)

Последнее уравнение и есть "уравнение телеграфистов". [И.Е. Тамм, 1989]

Приведенный вывод основан на ряде допущений, которые, вообще говоря, действительности не соответствуют. Сами понятия емкости и индуктивности единицы длины не имеют однозначного смысла, ибо, например, потенциал данной точки зависит не только от распределения зарядов в этой точке, но и от распределения зарядов во всем проводнике.

Литература

Для подготовки.

И.В. Савельев "Курс общей физики" т.т. 1,2, М., "Наука", 1982.
Трофимова "Курс физики".
А.А. Детлаф, Б.М. Яворский "Курс физики", М., "Высшая школа", 1989.
Р.Т. Грабовский "Курс физики", М., "Высшая школа", 1970.
А.Н. Матвеев "Электричество и магнетизм" М., "Высшая школа", 1983.

Использованная литература.

В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин, Л.А. Дворников "Курс теоретической механики", М., "Высшая школа", 1974.
С.П. Тимошенко "Колебания в инженерном деле" Государственное изд-во физмат лит-ры, 1959.
М.М. Гернет "Курс теоретической механики", М., "Высшая школа", 1987.
Г. Корн, Т. Корн "Справочник о математике для инженеров и научных работников", М., "Высшая школа", 1984.
Г.Л. Деденко и др. "Общий физический практикум. Механика", М., издательство МГУ, 1991.
А.Н. Матвеев "Электричество и магнетизм" М., "Высшая школа", 1983.
И.В. Савельев "Курс общей физики" т.2. М., "Наука" 1982.
О.Ф. Кабардин, В.А. Орлов, Н.И. Шефер "Факультативный курс физики. 10 класс", М., "Просвещение", 1979.
И.Е. Тамм "Основы теории электричества", М., "Наука", 1989.

П.В.Кузьмин

Написать комментарий