Динамика абсолютно твердого тела Момент импульса. Тензор инерции. Момент
импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов
инерции относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент импульса
относительно движущегося центра масс.
Задача динамики абсолютно твердого тела - изучить движение тела в
зависимости от действующих на него сил. Как следует из предыдущего
рассмотрения, произвольное движение твердого тела можно свести к
поступательному и вращательному. При поступательном движении траектории всех
точек тела одинаковы, и для описания этого движения используются такие
понятия, как масса, импульс, сила. При изучении вращательного движения тела
этих понятий оказывается недостаточно.
Рассмотрим два цилиндра одинаковой массы и одинаковых размеров, причем один
цилиндр, изготовленный из болей легкого материала, пусть будет сплошным, а
другой, изготовленный из более тяжелого материала, - полым. Опыт
показывает, что при соскальзывании с достаточно гладкой наклонной плоскости
цилиндры не вращаются и ведут себя совершенно одинаково (рис. 2.1а) в
частности, они одновременно достигают основания этой наклонной плоскости.
Иное дело, если плоскость шероховатая, и цилиндры скатываются, вращаясь
вокруг своей оси (рис. 2.1б) - в этом случае быстрее скатывается сплошной
цилиндр. Таким образом, при вращательном движении существенно распределение
массы относительно оси вращения.
![](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/fig2-1.gif) | Рис. 2.1. |
Об этом же свидетельствуют и другие опыты: чем дальше от оси вращения
сосредоточена масса тела, тем труднее его раскрутить при воздействии
постоянной силой, имеющей одно и то же плечо (рис. 2.2аб). Для раскручивания
стержней с грузами до угловой скорости в случае рис. 2.2б
требуется большее время, чем в случае рис. 2.2а. В этих же опытах можно
показать, что при вращательном движении тела существенную роль играет не
сама сила, а ее момент: если перебросить нить на шкив большего радиуса, то
раскрутить эти тела будет легче (рис. 2.2в). Таким образом, для описания
вращательного движения тела необходимо ввести новые понятия: момент инерции,
момент импульса, момент силы.
![](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/fig2-2.gif) | Рис. 2.2. |
Момент импульса тела относительно
неподвижной точки - важнейшее понятие в динамике вращательного движения
твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:
![$ {\displaystyle \bf L} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i}} }\times {\displaystyle \bf p}_{i} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \bf r}_{i} \times v_{i} . $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula280.gif) | (2.1) |
Здесь - импульс элементарной
в лабораторной системе XYZ, а - радиус-вектор массы с началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется
момент импульса тела.
С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор
момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости ![$\omega.$](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula67.gif)
Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы укрепленные на
концах невесомого стержня АВ (рис. 2.В). Стержень с массами вращается с
угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через середину
стержня и перпендикулярной ему. В этом случае
![$ {\displaystyle \bf L} = m{\displaystyle \bf r}_{1} \times {\displaystyle \bf v}_{1} + m{\displaystyle \bf r}_{2}\times {\displaystyle \bf v}_{2} = 2mr^{2}\omega $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula284.gif) | (2.2) |
Здесь учтено, что а ![$v_{1} = v_{2} = \omega r.$](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula286.gif)
![](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/fig2-3.gif) | Рис. 2.3. |
Существенно, что в этом примере вектор L, направлен так же, как и
К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере,
показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень АВ с двумя массами на
концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом
к ней и лежит в плоскости Oyz. При вращении стержня вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью вектор L, определенный по
(2.1), будет находиться в плоскости Oyz и составит угол с осью z. Система xyz, введенная в начале лекции 1,
жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор
L остается в плоскости Oyz, а в лабораторной системе движется по
конической поверхности с углом полураствора
![](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/fig2-4.gif) | Рис. 2.4. |
Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы,
закрепленного в некоторой точке О.
Пусть - радиус-вектор элементарной массы
твердого тела, а - угловая скорость. Тогда
![$ {\displaystyle \bf L} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \bf r}_{i} \times {\displaystyle \bf v}_{i} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{a} }\times {\displaystyle \mathop {\displaystyle (\omega}\limits_{b} }\times {\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} )}\limits_{c} } = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \mathop {\displaystyle \omega}\limits_{b} }({\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{a} }{\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{c} }) - {\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{c} }({\displaystyle \mathop {\displaystyle {\displaystyle \bf r}_{i} }\limits_{a} }{\displaystyle \mathop {\displaystyle \omega}\limits_{b} })} \right\}} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega r_{i}^{2} - r_{i} (r_{i} \omega)} \right\}} $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula288.gif) | (2.3) |
Векторы и L можно проектировать как на оси
лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с
твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно
совместить). Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции
являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от
времени), и выражения для компонент L, оказываются проще.
Итак, в системе xyz
![$ {\displaystyle \bf r}_{i} = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle x_{i} ,y_{i} ,z_{i} } \right\}}, \quad \omega = {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega _{x} ,\omega _{y} ,\omega _{z} } \right\}}. $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula290.gif) | (2.4) |
Тогда, продолжая (2.3), можно записать:
![$ {\displaystyle \bf L} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} } }{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \omega r_{i}^{2} - r_{i} (x_{i} \omega _{x} + y_{i} \omega _{y} + z_{i} \omega _{z} )} \right\}} $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula291.gif) | (2.5) |
Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в
следующем виде:
![$ L_{x} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} \left( {\displaystyle r_{i}^{2} - x_{i}^{2} } \right)} }\omega _{x} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} x_{i} y_{i} } \right)} }\omega _{y} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} x_{i} z{\displaystyle }_{i}} \right)} }\omega _{z} ; $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula292.gif) | (2.6) |
![$ L_{y} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} y_{i} x_{i} } \right)} }\omega _{x} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} \left( {\displaystyle r_{i}^{2} - y_{i}^{2} } \right)} }\omega _{y} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} y_{i} z{\displaystyle }_{i}} \right)} }\omega _{z} ; $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula293.gif) | (2.7) |
![$ L_{z} = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} z_{i} x_{i} } \right)} }\omega _{x} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \left( {\displaystyle - \Delta m_{i} z_{i} y{\displaystyle }_{i}} \right)} }\omega _{y} + {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle \Delta m_{i} \left( {\displaystyle r_{i}^{2} - z_{i}^{2} } \right)} }\omega _{z} , $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula294.gif) | (2.8) |
или
![$ L_{x} = J_{xx} \omega _{x} + J_{xy} \omega _{y} + J_{xz} \omega _{z} ; $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula295.gif) | (2.9) |
![$ L_{y} = J_{yx} \omega _{x} + J_{yy} \omega _{y} + J_{xy} \omega _{z} ; $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula296.gif) | (2.10) |
![$ L_{z} = J_{zx} \omega _{x} + J_{zy} \omega _{y} + J_{zz} \omega _{z} ; $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula297.gif) | (2.11) |
где - 9 компонент так называемого тензора инерции
твердого тела относительно точки О:
![$ \hat {\displaystyle J} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{*{20}c} {\displaystyle J_{xx} } \hfill & {\displaystyle J_{xy} } \hfill & {\displaystyle J_{xz} } \hfill \\ {\displaystyle J_{yx} } \hfill & {\displaystyle J_{yy} } \hfill & {\displaystyle J_{yz} } \hfill \\ {\displaystyle J_{zx} } \hfill & {\displaystyle J_{zy} } \hfill & {\displaystyle J_{zz} } \hfill \\ \end{array} }} \right) $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula300.gif) | (2.) |
Диагональные элементы тензора называются осевыми
моментами инерции, недиагональные элементы называются центробежными моментами инерции.
Обратим внимание, что Такой тензор называют симметричным.
Если координатам x, y и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то
(2.9-2.11) можно представить в виде
![$L_{k} = {\displaystyle \sum\limits_{\ell = 1}^{3} {\displaystyle J_{kl} } }\omega _{l} ;\quad k, \ell = 1, 2, 3.$](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula304.gif) | (2.13) |
В символическом виде можно записать так:
![$ L = \hat {\displaystyle J}\omega $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/tex/formula305.gif) | (2.14) |
Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в
следующем. Девять величин (из них шесть независимых)
определяют однозначную связь между L и причем оказывается, что
L, вообще говоря, не совпадает по направлению с (рис. 2.5)
![](http://images.nature.web.ru/nature/2002/05/18/0001186208/fig2-5.gif) | Рис. 2.5. |
Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике
- тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число
(значение скалярной величины), векторной - три числа (три проекции вектора
на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в
общем случае 9 чисел. На языке математики тензор - это многокомпонентная
величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях
системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются
как произведения соответствующих координат).
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[3]
|