Плоское движение - это такое движение твердого тела, при котором траектории
всех его точек лежат в параллельных плоскостях. Если в теле провести
некоторую прямую O1O2, перпендикулярную этим плоскостям (рис.
1.9), то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с
одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно,
сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, или,
как его иногда называют, плоско-параллельном, движении твердого тела
достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.
| Рис. 1.9. |
Обратимся к классическому простому примеру плоского движения - качению
цилиндра по плоскости без проскальзывания. Рассматривая одно из сечений
цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, мы придем к известное задаче
о катящемся колесе (рис. 1.10). Центр колеса движется прямолинейно,
траектории других точек представляют собой кривые, называемые циклоидами.
| Рис. 1.10. |
При отсутствии проскальзывания мгновенная скорость самой нижней точки колеса
(точки M) равна нулю. Это позволяет рассматривать качение колеса как
суперпозицию двух движений: поступательного со скоростью оси и
вращательного с угловой скоростью где
- радиус колеса. Ясно, что в этом случае
Попробуем обобщить этот прием на произвольное плоское движение.
Выделим отрезок АB в рассматриваемом сечении твердого тела (рис. 1.11).
Перевод сечения из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как
суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из
1' в 2 вокруг точки A', называемой обычно полюсом (рис. 1.11а).
Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую
сечению или даже лежащую в плоскости сечение вне его. На рис. 1.11б, к
примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути
при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но
угол поворота остался прежним!
| Рис. 1.11. |
Приближая конечное положение тела к начальному (сокращая рассматриваемый
промежуток времени), приходим к выводу: плоское движение твердого тела в
любой момент времени можно представить как суперпозицию поступательного
движения со скоростью некоторой точки, выбранной в качестве полюса, и
вращения вокруг оси, проходящей через полюс. В реальной ситуации оба эти
движения, естественно, происходят одновременно. Существенно, что разложение
на поступательное и вращательное движения оказывается неоднозначным, причем
в зависимости от выбора полюса скорость поступательного движения будет
изменяться, а угловая скорость вращения останется неизменной.
В соответствии со сказанным скорость любой точки А тела (рис. 1.12)
геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки O, принятой
за полюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса. Напомним,
что система координат XYZ на рис. 1.12 - неподвижная (лабораторная); начало
системы x0y0z0 помещено в некоторую точку О тела (полюс), а
сама система x0y0z0 движется относительно XYZ поступательно,
причем так, что оси Oy0 и Oz0 остаются в плоскости рисунка.
Рассматриваемая точка А тела также движется в плоскости рисунка (плоское
движение!).
| Рис. 1.12. |
Радиус-вектор точки А
| (1.15) |
Скорость точки А
| (1.16) |
Из (1.16) можно сделать вывод, что в любой момент времени должна
существовать такая точка M, скорость которой в лабораторной системе XYZ
равна нулю - для этой точки
| (1.17) |
(рис. 1.13). Заметим, что эта точка не обязательно должна принадлежать телу,
то есть может находиться и вне его. Таким образом, плоское движение твердого
тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг
оси, проходящей через точку M - такая ось называется обычно мгновенной осью
вращения. В частности, для колеса, катящегося по плоскости без
проскальзывания (рис. 1.10), мгновенная ось вращения проходит через точку М
соприкосновения колеса с плоскостью.
| Рис. 1.13. |
Существенно, что в разные моменты времени мгновенная ось вращения проходит
через разные точки твердого тела и через разные точки лабораторной системы
XYZ, сохраняя, конечно, свою ориентацию в пространстве.
Для того, чтобы определить положение мгновенной оси вращения, необходимо
знать скорости каких-либо двух точек твердого тела. Так, на рис. 1.14
показано положение мгновенной оси вращения (точка М) для цилиндра, зажатого
между двумя параллельными рейками, которые движутся в одну и ту же сторону с
разными скоростями и
| Рис. 1.14. |
В ситуации, изображенной на рис. 1.15, стержень AB опирается на точку С и
движется в плоскости чертежа так, что его конец B все время находится на
полуокружности CBD При этом мгновенная ось вращения стержня (точка М)
находится на верхней полуокружности CMD и при движении точки B вправо
перемещается по дуге этой полуокружности влево.
| Рис. 1.15. |
В случае, показанном на рис. 1.16, стержень, опирающийся одним из своих
концов на гладкую горизонтальную плоскость, начинает падать из вертикального
положения. При этом центр масс стержня опускается, оставаясь на одной и той
же вертикали. Мгновенная ось вращения (точка М) перемещается по дуге
окружности радиуса ( - длина стержня).
| Рис. 1.16. |
Зная угловую скорость и положение мгновенной оси вращения, можно
легко определить скорость любой точки тела при его плоском движении. Так, в
случае колеса, катящегося по плоскости со скоростью без
проскальзывания (рис. 1.17), скорость точки В
| (1.18) |
вектор перпендикулярен отрезку в МВ, соединяющему точку В с точкой
М, через которую проходит мгновенная ось вращения. Естественно,
можно представить и как геометрическую сумму двух скоростей: -
скорости поступательного движения оси колеса и - скорости
вращательного движения вокруг этой оси, причем (рис. 1.17).
| Рис. 1.17. |
Рис. 1.18 иллюстрирует распределение скоростей на вертикальном диаметре
колеса железнодорожного вагона. Мгновенная ось вращения проходит через точку
М соприкосновения колеса с рельсом. Хорошо видно, что линейная скорость
точки на краю реборды направлена в сторону, противоположную движению вагона.
| Рис. 1.18. |
Определим теперь ускорения точек тела при плоском движении. Дифференцируя
выражением (1.16) по времени, получим для ускорения точки А
| (1.19) |
Это ускорение складывается из трех частот (рис. 1.19): ускорения точки O, принятой за полюс, тангенциального ускорения
| (1.20) |
и нормального ускорения
| (1.21) |
(скалярное произведение равно нулю, так как ).
| Рис. 1.19. |
Таким образом, ускорение любой точки А тела при плоском движении равно
геометрической сумме ускорения точки, принятой за полюс, и ускорения точк,
принятой за полюс, и ускорения точки A за счет ее вращения вокруг этого
полюса. Отсюда, в частности, следует, что ускорение любой точки колеса,
катящегося без проскальзывания по плоскости с постоянной скоростью
, направлено к центру колеса и равно где -
расстояние рассматриваемой точки до центра колеса. В этом примере в качестве
полюса удобно выбрать центр колеса О, тогда и
остается только
Замечание. По аналогии с мгновенной осью вращения можно ввести мгновенную
ось, ускорения всех точек которой в данный момент времени равны нулю. При
этом следует иметь в виду, что эта ось, вообще говоря, не совпадает с
мгновенной осью вращения. Так, в примере с колесом, катящимся по плоскости с
постоянной скоростью, она проходит через центр колеса.
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[3]
|