Поступательное движение - это такое движение, при котором любой выделенный
в теле отрезок остается параллельным самому себе.
Классическим примером на эту тему является движение кабинок колеса обозрения
(рис. 1.4). Этот пример наглядно показывает, что поступательное движение -
совсем не обязательно прямолинейное. Очевидно, что число степеней свободы
тела в этом случае равно трем, так как достаточно описать движение
какой-нибудь одной точки тела (например, точки А на рис. 1.5). Траектории
всех остальных точек (например, точки В на рис. 1.5) могут быть получены
путем "параллельного" переноса.
| | Рис. 1.4. | Рис. 1.5. |
Допустим, закон движения точки А задан в виде
| (1.2) |
Тогда закон движения точки В будет иметь вид
| (1.3) |
где - вектор, проведенный от точки А к точке В.
Скорость точки А
| (1.4) |
скорость точки В
| (1.5) |
так как - вектор, постоянный по величине (абсолютно твердое
тело) и направлению (поступательное движение).
Ускорения точек А и В также равны между собой:
| (1.6) |
Таким образом, кинематика поступательного движения твердого тела в принципе
ничем не отличается от кинематики материальной точки.
Если при движении твердого тела какие-либо
две его точки все время остаются неподвижными, то через эти точки можно
провести прямую, являющуюся неподвижной осью вращения. С таким движением мы
сталкиваемся ежедневно, открывая и закрывая дверь в комнату. Очевидно, что в
этом случае тело обладает лишь одной степенью свободы, связанной с углом его
поворота вокруг оси. При этом все точки тела движутся по окружностям,
лежащим в плоскостях, которые перпендикулярны оси вращения; центры
окружностей лежат на этой оси.
Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном расстоянии
от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной проволокой
вращающегося диска точила (рис. 1.6): чем дальше от оси, тем длиннее сноп
искр - тем больше скорость соответствующей точки диска. При этом также
видно, что искры летят по касательной к окружности, описываемой данной
точкой диска.
| Рис. 1.6. |
Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время
будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую
характеристику - угловую скорость
| (1.7) |
где - угол поворота тела за время
Можно ввести вектор элементарного углового перемещения
направленный вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого буравчика:
если рукоятку буравчика поворачивать в направлении вращения тела, то
поступательное перемещение буравчика даст направление Устремляя
интервал времени за которое произошло угловое перемещение
к нулю, мы получим вектор угловой скорости
| (1.8) |
который определяет, во-первых, модуль угловой скорости тела, во-вторых, -
ориентацию оси вращения в пространстве, а в-третьих, - направление вращения
тела. Следует подчеркнуть, что - вектор скользящий в том смысле, что
его начало можно совместить с любой точкой, принадлежащей оси вращения.
Например, для Земли, вращающейся вокруг своей оси с запада на восток, вектор
имеет направление от южного полюса к северному.
Величина угловой скорости
Для сравнения: угловая скорость орбитального движения Земли составляет
Заметим, что период орбитального вращения не кратен продолжительности суток,
что создает известные трудности в построении календаря (необходимо вводить
високосные годы и проч.)
Зная легко определить линейную скорость любой точки твердого тела.
Введем радиус-вектор некоторой точки А твердого тела,
поместив его начало в точку О на оси вращения (рис. 1 .7). - вектор,
проведенный в точку А от оси вращения, то есть перпендикулярно оси.
| Рис. 1.7. |
Вектор скорости можно связать с векторами и :
| (1.9) |
(формула Эйлера). При этом величина скорости
| (1.10) |
Ясно, что точку О на оси вращения можно выбрать произвольно - значение
будет одним и тем же.
Ускорение точки А
| (1.11) |
Здесь угловое ускорение тела. Это аксиальный
вектор, направленный в ту же сторону, что и если вращение ускоренное, и
противоположно если вращение замедленное.
Таким образом, ускорение является суммой двух величин:
| (1.12) |
(рис. 1.8), причем все три вектора и лежат в
плоскости, перпендикулярной оси вращения.
| (1.13) |
- это тангенциальное ускорение ( - единичный вектор в направлении
).
| (1.14) |
- это осестремительное ускорение (n - единичный вектор в направлении к
оси вращения). Эти составляющие полного ускорения хорошо известны из
кинематики вращательного движения материальной точки.
| Рис. 1.8. |
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[3]
|