Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных
частиц:
| (3.37) |
где - скорость центра масс тела, - скорость
i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и
совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в
квадрат, получим:
| (3.38) |
так как (суммарный импульс
частиц в системе центра масс равен нулю).
Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме
кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема
Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной
оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно
решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила
трения при качении без проскальзывания работу не совершает).
Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное
энергии:
| (3.39) |
Здесь - длина наклонной плоскости, - момент
инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.
Поскольку скорость оси цилиндра то
| (3.40) |
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
| (3.41) |
откуда для линейного ускорения оси цилиндра будем
иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см.
(3.27, 3.36)).
Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его
кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.
Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой
поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным
углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.
Такое движение можно реализовать с помощью специального устройства,
называемого кардановым подвесом (рис. 3.13). Положение тела в подвесе должно
быть таким, чтобы оси AA', BB' и CC' пересекались в центре масс.
В этом случае при любых возможных движениях тела его центр масс остается
неподвижным. При этом ось AA' (в данном случае - ось симметрии тела)
может занимать произвольную ориентацию в пространстве.
| Рис. 3.13. |
Задачей о движении твердого тела, закрепленного в точке, занимались многие
ученые: Л. Эйлер, большая часть жизни которого была связана с Петербургской
Академией Наук, выдающиеся русские ученые Н. Е. .Жуковские, С. В.
Ковалевская, С. А. Чаплыгин, французские ученые Ж. Лагранж, С. Пуассон, Л.
Пуансо. Оказалось, что в общем случае эта задача аналитически неразрешима.
Даже в простейшем случае движения твердого тела только под действием силы
тяжести точное решение существует лишь в особых частных случаях. Один из
этих случаев, когда однородное тело вращения закреплено в центре масс, мы
рассмотрим в этой лекции, другой, имеющий отношение к движению гироскопа, -
в лекции 4.
Рассмотрим однородное аксиально симметричное тело
вращения, закрепленное в центре масс О (рис. 3.14). Центральный эллипсоид
инерции такого тела является эллипсоидом вращения с осью симметрии Oz.
| Рис. 3.14. |
Система координат x0y0z0 на рис. 3.14 - лабораторная,
система xyz жестко связана с телом, причем оси Ox, Oy и Oz - главные
центральные оси инерции тела. Поскольку это тело вращения, то главные осевые
моменты инерции и равны между собой:
Суммарный момент сил тяжести относительно точки закрепления (центра масс)
равен нулю, иных сил, кроме сил тяжести, нет, поэтому уравнение моментов
(3.2) имеет вид
| (3.42) |
откуда
| (3.43) |
то есть момент импульса раскрученного и предоставленного самому себе тела
остается постоянным по величине и направлению.
Замечание. Если исследуемое тело - шар, то
и центральный эллипсоид инерции трансформируется в сферу. Это означает. что
любая центральная ось вращения является главной осью инерции шара, то есть
имеет место простое соотношение где - момент инерции
относительно центральной оси, и при получаем
Ось вращения совпадает по направлению с L и сохраняет свою ориентацию
в пространстве.
Теперь допустим, что отлично от и как, например,
на рис. 3.14. В этом случае чистое вращение имеет место только тогда, когда
ось вращения либо совпадает с осью симметрии тела, либо перпендикулярна к
ней.
Общий случай более сложен; обычно его рассматривают с помощью
дифференциальных уравнений Эйлера. Дело заключается в том, что если в
уравнении (3.42) вектор L спроектировать на оси лабораторной системы
x0y0z0, то скалярные дифференциальные уравнения движения
будут весьма сложными, поскольку моменты инерции относительно неподвижных
осей будут функциями времени. Поэтому гораздо удобнее рассматривать
L, в проекциях на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом.
Пусть i, j, k - единичные орты системы xyz, жестко
связанной с твердым телом (рис. 3.14). Тогда (3.42) принимает вид
| (3.44) |
где не только проекции но и единичные орты i, j, k являются функциями времени. Поэтому из (3.44) следует
| (3.45) |
Здесь использован символ
чтобы подчеркнуть, что рассматриваются изменения во времени проекций
и относительно подвижной системы xyz - системы,
которая, в свою очередь, поворачивается вместе с телом с мгновенной угловой
скоростью
Что касается производных по времени от единичных ортов i, j,
k , то их изменения во времени обусловлены только вращением системы
xyz с угловой скоростью поэтому
| (3.46) |
(см. рис. 3.15). Подставляя эти выражения в (3.45), получим:
| (3.47) |
Преобразование
| (3.48) |
находится в полной аналогии с преобразованием скорости при переходе от
неподвижной к вращающейся системе координат. Существенно, что наблюдатель,
находящийся в системе xyz, фиксирует только относительное изменение L
(член ).Для наблюдателя в лабораторной системе к относительному изменению L
добавляется его "переносное" изменение, связанное с вращением системы xyz с
мгновенной угловой скоростью
| Рис. 3.15. |
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[3]
|