Научная Сеть >> Уравнение Власова-Эйнштейна и его квантование

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Дипломные работы

Амосов С.А. (Московский физико-технический институт, факультет управления и прикладной математики)
Научный руководитель: д.ф.-м.н. Веденяпин В.В.
Москва, 1997

Содержание

Глава IV. Эволюция динамических состояний

Уравнение Клейна-Гордона-Фока

1⁰. В этой главе мы обратимся к рассмотрению квантового аналога исходной динамической системы. Его состояния эволюционируют по интервалу $s$ . В соответствии с общими принципами квантовой механики, дифференциальное уравнение эволюции динамических состояний частицы имеет вид:

где $\Psi{}(s,x)$ есть скалярная волновая функция частицы в координатном представлении. Ковариантность полученного уравнения относительно преобразований Лоренца очевидна, ибо оператор Лапласа-Бельтрами $\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}g^{ij}\sqrt{-g}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}$ является релятивистски инвариантным оператором, а волновая функция $\Psi (s,x)$ есть скаляр относительно преобразований Лоренца. По существу уравнение (IV.3) - это уравнение Шредингера, соответствующее движению скалярной частицы в геодезических полях. Выражение для действия в этом случае имеет вид: $S=\int{}g_{ij}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}\Psi\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}\Psi\sqrt{-g}dx.$

2⁰. Запишем уравнение (IV.1) для $s$ -стационарного случая, разделив переменные в волновой функции. Для этого сделаем подстановку $\Psi{}(s,x)=exp\left(\frac{\displaystyle{i\mu{}s}}{\displaystyle{\hbar{}c}}\right)\Psi{}(x)$ . По существу это значит, что рассматриваемая система находится в состоянии, характеризуемом определенным значением массы. Уравнение (IV.3) сведется к задаче на собственные функции гамильтониана (IV.1):
$\hat{}H\Psi{}(x)=\mu\Psi{}(x). \mbox{(IV.2)}$

Данное уравнение есть не что иное, как уравнение Клейна-Гордона-Фока в случае произвольной метрики $g_{ij}$ , описывающее динамическое состояние скалярной частицы в отсутствие других взаимодействий, помимо гравитационного.

Рассмотрим, например, это уравнение в псевдоевклидовой метрике, когда метрический тензор $g^{ij}$ имеет диагональный вид с сигнатурой $\{1,-1,-1,-1\}$ а интервал определяется формулой $ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ . Тогда уравнение (IV.2) примет вид
$\left(+\frac{\displaystyle{2mc}}{\displaystyle{\hbar^2}}\mu\right)\Psi{}(x)=0, \mbox{(IV.3)}$

где $=-\Delta + \frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{c^2}}\frac{\displaystyle{\partial^2}}{\displaystyle{\partial{}t^2}}\equiv{}-\left(\frac{\displaystyle{\partial^2}}{\displaystyle{\partial{}x^2}}+\frac{\displaystyle{\partial^2}}{\displaystyle{\partial{}y^2}}+\frac{\displaystyle{\partial^2}}{\displaystyle{\partial{}z^2}}\right)+\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{c^2}}\frac{\displaystyle{\partial^2}}{\displaystyle{\partial{}t^2}}$ - оператор д'Аламбера. Сравнивая полученное уравнение с известным уравнением Клейна-Гордона-Фока в декартовой системе координат, видим, что они совпадают при $\mu=mc/2$ . Таким образом, $\mu$ с точностью до множителя $c/2$ следует трактовать как массовую характеристику исходной динамической системы (частицы). Этот множитель связан с собственным значением оператора Лапласа-Бельтрами $\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}g^{ij}\sqrt{-g}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}$ , на основе которого построен квантовый гамильтониан (III.1). Свойства оператора Лапласа - Бельтрами хорошо изучены; в частности, известен его спектр, благодаря чему можно сделать некоторые заключения относительно физических свойств описываемой системы и геометрии пространства.

В статье [9] при некоторых дополнительных предположениях математического характера показано, что в эллиптическом случае у оператора Лапласа - Бельтрами на римановом многообразии существует серия асимптотических собственных функций и соответствующих им собственных значений вида
$\mu_k=\hbar\left(\frac{\displaystyle{2\pi{}k}}{\displaystyle{L}}+\omega{}(k)\right),$

где $\omega{}(k)$ - некий характеристический показатель, а $L$ - длина контура некоторой геодезической. По существу это указывает на существенную зависимость между массой частицы и степенью ее локализации в пространственно-временном континууме.

Как нетрудно убедиться, в случае "слабой" метрики (пункт II.2⁰) уравнение Клейна-Гордона-Фока имеет следующий вид:
$\Psi-\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{c^2}}\left(1+\frac{\displaystyle{2\phi}}{\displaystyle{c^2}}\right)\nabla\Psi\nabla\phi+\frac{\displaystyle{2\phi}}{\displaystyle{c^4}}\frac{\displaystyle{\partial^2\Psi}}{\displaystyle{\partial{}t^2}}+\left(\frac{\displaystyle{m}}{\displaystyle{\hbar}}\right)^2\Psi=0,$

где через $\nabla$ обозначен вектор частных производных по пространственным координатам $x^{\alpha}{},\alpha=1,2,3$ , а $\phi{}(x^{\alpha})$ - скалярный гравитационный потенциал.

3⁰. Некоторые авторы (см., например, [5]) пишут уравнение Клейна-Гордона-Фока для случая произвольной метрики в виде:
$g^{ij}\left(\frac{\displaystyle{\partial^2\Psi}}{\displaystyle{\partial{}x^ix^j}}-\Gamma^k_{ij}\frac{\displaystyle{\partial{}\Psi}}{\displaystyle{\partial{}x^k}}\right)+\left(\frac{\displaystyle{mc}}{\displaystyle{\hbar}}\right)\Psi+BR\Psi=0. \mbox{(IV.4)}$

где $B$ - некоторый постоянный коэффициент, $R$ - кривизна пространства, $R=g^{ik}R_{ik}$ .

Воспользовавшись тождеством $g^{kl}\Gamma^i_{kl}=-\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial{}(\sqrt{-g}g^{ik}})}{\displaystyle{\partial{}x^k}}$ , нетрудно показать, что при предложенной трактовке собственного значения $\mu$ уравнения (IV.2) и (IV.4) совпадают с точностью до члена $BR\Psi$ , вводимого обычно "из соображений конформной инвариантности" уравнения (IV.4). Коэффициент $B$ различен при различных способах получения уравнения (IV.4) и требованиях к нему [5]. Вообще говоря, слагаемое $BR\Psi$ можно получить и в нашем подходе, использовав для построения квантового гамильтониана не просто оператор Лапласа-Бельтрами, а с аддитивно добавленным оператором умножения на $BR$ , так что
$\hat{}H=-\frac{\displaystyle{\hbar^2}}{\displaystyle{2mc}}\left(\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}g^{ij}\sqrt{-g}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}+BR\right).$

Эрмитовость оператора $\hat{}H$ при этом сохранится, так как скалярная кривизна $R$ есть инвариант [2]. При выборе коэффициента $B$ надо исходить опять-таки из требований, предъявляемых к свойствам получаемого уравнения. Если пространство имеет постоянную кривизну, набор собственных функций квантового гамильтониана после предлагаемой модификации не изменится.

Кинетическая теория

Написать комментарий