Научная Сеть >> значения целочисленного многочлена

Наука | Задачи

значения целочисленного многочлена
2.10.2001 11:24 | МЦНМО

Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого P(6)=5 и P(14)=9.

Хочу подсказку

Решение:
Зададимся некоторыми целыми числами a и b. Рассмотрим разность P(a)-P(b). Эта разность представляет собой сумму выражений вида a^k-b^k с целыми коэффициентами. Нетрудно проверить справедливость разложения a^k-b^k = (a-b)(a^k-1+a^k-2b+a^k-3b²+...+b^k-1). В частности, из этого разложения следует, что a^k-b^k делится на a-b. Итак, из приведенных выше рассуждений следует, что P(a)-P(b) делится на a-b.
Если бы существовал многочлен P(x), о котором идет речь в условии, то разность P(14)-(6)=9-5=4 должна была бы нацело делиться на 14-6=8, что неверно.

Написать комментарий