Малый Мехмат                9 класс                
        
                
                  Занятие 26                5 мая 2001 года                
        

Разные задачи

На плоскости отмечены 2000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести прямую, (не проходящую ни через одну из отмеченных точек), по обе стороны которой лежит по 1000 точек.

Даны 1002 различных натуральных числа, меньших 2001. Докажите, что одно из них равно сумме двух других. Останется ли условие задачи верным, если заменить 1002 на 1001 ?

Через точку пересечения биссектрис AD и CE треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AM+CN .

На продолжении CE стороны AC равностороннего треугольника ABC построен другой равносторонний треугольник CDE . Через M и P обозначены середины отрезков AD и BE соответственно. Докажите, что треугольник CMP равносторонний.

а) Я задумал три цифры x , y и z . Вы можете называть любые три числа a , b и c и спрашивать, чему равно ax+by+cz ? За какое минимальное количество вопросов Вы определите задуманные мной цифры? б) Я задумал три натуральных числа x , y и z . Тот же вопрос.

Квадратный трехчлен принимает целые значения при всех целых значениях x . а) Следует ли из этого, что c --- целое число? б) Следует ли из этого, что a и b --- целые числа?

На шахматной доске 8X8 расставили 8 ладей так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали оказалось по одной ладье. Доску разбили на 4 квадрата 4X4. Верно ли, что в двух из них количества ладей равны?

Улицы города идут в трех направлениях и разбивают его на кварталы --- равные правильные треугольники. Согласно правилам дорожного движения, разрешается поворачивать только на угол (углом поворота называется угол между направлениями движения до и после поворота). Два автомобиля начали движение из одной точки в одном направлении. Может ли оказаться, что в какой-то момент они будут двигаться по одной улице навстречу друг другу?