Научная Сеть >> Вектор состояния

Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Амплитуда состояния

Основы квантовой механики: Условия одновременной измеримости наблюдаемых

Вакуум

Гамильтониан

В. И. Арнольд ""Жесткие" и "мягкие" математические модели": note1

Основы квантовой механики: Основные постулаты квантовой механики

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: 2.6.1.2. Неоднозначность определения импульса в периодической структуре. Волновая функция Блоха. Приведенный волновой вектор. Зоны Бриллюэна. Закон дисперсии в приведенной зоне.

Амплитуда процесса

Аксиоматическая квантовая теория поля

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Метод построения дискретных моделей непрерывных динамических систем

Маркированные гиперграфы в задачах компьютерного моделирования

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: Паули принцип

Физические основы строения и эволюции звезд: pover

Напряженное состояние земной коры.: сдвиговое напряжение

Механика сплошных сред: Понятие о тензоре деформации

Вектор состояния
4.02.2002 16:25 | Phys.Web.Ru

Вектор состояния (амплитуда состояния; символ $\mid\Phi\gt$ или $\mid\gt$ , предложен П. А. М. Дираком) - основное понятие квантовой механики, математический объект, задание которого в определенный момент времени полностью определяет состояние квантовомеханической системы и, при известных взаимодействиях, ее дальнейшую эволюцию. Тот факт, что объект, описывающий состояние в квантовой механике, в математическом отношении должен представлять собой вектор, вытекает из основного принципа квантовой механики - принципа суперпозиции состояний (см. Суперпозиции принцип). Из этого принципа следует также, что совокупность векторов состояния какой-либо физической системы образует комплексное векторное пространство, которое может быть конечномерным или бесконечномерным в зависимости от того, содержит ли оно конечное или бесконечное число линейно независимых векторов состояний. Исходя из определения скалярного произведения вектора состояния, можно каждому вектору $\mid A \gt$ этого пространства взаимно однозначно сопоставить сопряженный (дуальный) ему вектор $\lt A \mid$ , связанный с $\mid A \gt$ следующими соотношениями: если $\mid A \gt=c_1 \mid A_1\gt+c_2 \mid A_2 \gt$ , где c₁, c₂ - произвольные комплексные числа, то $\lt A \mid=c_1^{\ast} \lt A_1 \mid+c_2^{\ast} \lt A_2 \mid$ ( $\ast$ означает комплексное сопряжение). По терминологии, предложенной Дираком, вектор $\mid A \gt$ называется "кет", а сопряженный ему вектор $\lt A \mid$ - "бра", что отвечает разбиению английского слова bracket (скобка) на две части. Если координаты вектора "кет" $\mid A \gt$ в каком-либо базисе представлять в виде столбца $\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$ , то координаты вектора "бра" $\lt A \mid$ в сопряженном базисе могут быть представлены строкой из комплексно-сопряженных чисел: ( $a_1^{\ast},a_2^{\ast} ...$ ), а скалярное произведение двух векторов состояния $\mid A \gt$ и $\mid B \gt$ , обозначаемое $\lt A \mid B \gt$ (причем $\lt A \mid B \gt = \lt B \mid A \gt^{\ast}$ ), получается по правилам матричного умножения (см. Матрица) путем умножения строки, отвечающей $\lt A \mid$ , на столбец, отвечающий $\mid B \gt$ . Вследствие взаимно однозначного соответствия между векторами "кет" и "бра" любое состояние динамической системы может быть описано с помощью как вектора состояния "кет", так и вектора состояния "бра".

Скалярное произведение вектора состояния $\mid A \gt$ само на себя называется нормой $\mid A \gt$ . Оно представляет собой обобщение квадрата длины обычного вектора. В квантовой механике постулируется, что вектора состояния динамической системы обладают конечной неотрицательной нормой: $\lt A\mid A \gt \geq 0$ . (Для векторов состояния, отвечающих "нефизическим" переменным, это требование может быть ослаблено; см. Индефинитная метрика.)

В пространстве вектор состояния имеет смысл понятие ортогональности, которое является обобщением соответствующего понятия для обычных векторов: два вектора состояния $\mid A \gt$ и $\mid B \gt$ называются ортогональными друг другу, если $\lt A \mid B \gt=0$ .

Для задания произвольного вектора состояния динамической системы используется в качестве ортогонального нормированного (ортонормированного) базиса совокупность векторов состояния, отвечающих полному набору измеряемых физических величин для данной системы, т. е. если величины F, G, ..., H составляют полный набор, а $\hat{F}$ , $\hat{G}$ , ..., $\hat{H}$ - соответствующие им эрмитовы операторы, то в качестве базиса используются собственные векторы состояний.

$\hat{F} \mid F,G, ... H \gt=F \mid F, G, ... H \gt$
$\hat{G} \mid F,G, ... H \gt=G \mid F, G, ... H \gt$
$\hat{H} \mid F,G, ... H \gt=H \mid F, G, ... H \gt$ (1)

где F, G, ..., H(обозначим их набор для краткости одной буквой n) - собственные значения операторов $\hat{F}$ , $\hat{G}$ , ..., $\hat{H}$ . Если n образуют дискретный спектр, то соответствующие им собственные векторы состояния могут быть нормированы на единицу:

$\lt n \mid n' \gt=\delta_{nn'}$ (2)

здесь $\mid n' \gt= \mid F', G', ... H' \gt$ , $\delta_{nn'}=\delta_{FF'}\delta_{GG'}...\delta_{HH'}$ - символ Кронекера: $\delta_{nn'}=0$ , если $n \neq n'$ и $\delta_{nn'}=1$ , если n=n' (т. е. если F=F', G=G', ... H=H'). Произвольный вектор состояния динамической системы $\mid \Phi \gt$ может быть представлен в виде разложения:

$\mid \Phi \gt=\sum_{n}c_n \mid n \gt$ , (3)

где c_n - координаты вектора состояния $\mid \Phi \gt$ в базисе $\mid n \gt$ - представляют собой функцию переменных n,
$c_n= \lt n \mid \Phi \gt=\psi(n)$

Функция $\psi(n)$ называется волновой функцией в представлении величин n. Квадрат модуля волновой функции $\mid \psi(n) \mid^2$ , согласно статистической интерпретации квантовой механики, равен вероятности того, что для системы, находящейся в состоянии, описываемом вектором состояния $\mid \Phi \gt$ , набор определяющих состояние величин равен n. Таким образом, волновая функция представляет собой амплитуду вероятности. Поскольку задание волновой функции полностью определяет вектор состояния $\mid \Phi \gt$ динамической системы, можно вычислить вероятности возможных значений K_i любой другой физической величины K, не входящей в полный набор (n). Для этого вектор состояния $\mid \Phi \gt$ должен быть разложен но векторам состояния, отвечающим другому полному набору величин, включающему величину К (см. Представлений теория).

Если собственные значения n (или некоторые из них) образуют сплошной спектр, суммирование в (3) заменяется интегрированием по соответствующим величинам, а условие (2) нормировки собственных векторов состояния на единицу заменяется условием нормировки на дельта-функцию:

$\lt n \mid n' \gt=\delta(n-n')$ (2')

Квадрат модуля волновой функции в этом случае равен плотности вероятности данного состояния. Вероятность $d \omega$ того, что для системы с векторами состояния $\mid \Phi \gt$ величины (n) будут обнаружены в интервалах n+dn, равна:
$d\omega=\mid \psi(n) \mid^2 dn$
Формально условие (2') противоречит постулату квантовой механики, требующему существования конечной нормы вектора состояния. Это связано с тем, что вектора состояния, отвечающий определенному значению физической величины, имеющей непрерывный спектр, является математической идеализацией. В действительности любая физическая величина F, принимающая непрерывные значения, может быть определена только с некоторой степенью точности $\Delta F$ , зависящей от разрешения прибора. Поэтому "физические" вектора состояния, отвечающие заданному (среднему) значению измеренной величины $\bar{F}$ , представляют собой по существу волновой пакет:

$\mid \bar{F} \gt={\displaystyle{1} \over \displaystyle{\Delta F}}\int{_{\bar{F}-\delta F/2}^{\bar{F}+\delta F/2}} \mid F' \gt dF'$ (4)

[В более общем случае суперпозиция вектора состояния (4) может содержать коэффициенты c(F'), плавно меняющиеся в интервале $(\bar{F}-\Delta F/2, \bar{F}+\Delta F/2)$ ]. При условии нормировки (2'): $\lt F'' \mid F' \gt=\delta(F''-F')$ норма вектора состояния $\mid \bar{F}\gt$ конечна: $\lt \bar{F} \mid \bar{F}=1/\Delta F$ при любом конечном $\Delta F$ Таким образом, "физические" вектора состояния (4) удовлетворяют требованию существования конечной нормы. Однако в математическом отношении использование их представляет ряд неудобств. Поэтому в аппарате квантовой механики, как правило, используют "монохроматические" векторы состояния с условием нормировки (2'), имея в виду, что из них всегда можно составить "физические" векторы состояния с конечной нормой.

Для динамической системы, состоящей из N частиц, полным набором измеряемых величин может служить совокупность пространственных координат всех частиц (x₁, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N) вместе с величинами, определяющими внутренние степени свободы частиц (например, спинами) $(\zeta_1, ...\zeta_N)$ . Координаты вектора состояния в этом базисе
$\lt x_1, y_1, z_1, ... x_N, y_N, z_N; \zeta_1, ..., \zeta_N \mid \Phi \gt=\Psi(r_1, ..., r_N; \zeta_1, ..., \zeta_N)$
называется волновой функцией в конфигурационном представлении. Условие существования конечной нормы вектора состояния:
$\lt \Phi \mid \Phi \gt =\sum_{\zeta_1, ..., \zeta_N}\int \int \int \psi^{\ast}(r_1, ..., r_N; \zeta_1, ..., \zeta_N) \times \Psi (r_1, ..., r_N; \zeta_1, ..., \zeta_N)dr_1...dr_N=K \lt \propto$
означает, что вектора состояний принадлежат гильбертову пространству. Использование в математическом аппарате квантовой механики собственных векторов состояний с бесконечной нормой (2') для величин, имеющих непрерывный спектр, требует формального расширения пространства Гильберта путем включения в него также вектора состояния с бесконечной нормой при условии, что волновые пакеты (4), составленные из суперпозиции таких векторов состояний, обладают конечной нормой.

В квантовой теории поля вектор состояния часто задается в чисел заполнения представлении. Вектор состояния системы частиц с импульсами p₁, ..., p_N и другими квантовыми числами $\sigma_1, ..., \sigma_N$ :
получается (с точностью до нормирующего множителя) в результате действия операторов рождения частиц ( $\alpha^+$ ) на вектор состояния вакуума $\mid 0 \gt$ : $\mid p_1, \sigma_1; ....; p_N, \sigma_N \gt=\alpha_{\sigma_1}^{+}(p_1)...\alpha_{\sigma_N}^{+}(p_N) \mid 0 \gt$
В случае, когда число частиц в системе может изменяться (т. е. в результате взаимодействий происходит рождение или уничтожение частиц), для задания вектора состояния используется также Фока представление (в котором число частиц и системе не фиксировано).

Написать комментарий