Научная Сеть >> Проект "Краткая Энциклопедия"

Наука >> Химия | Популярные заметки

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы)

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): Проект Краткая Энциклопедия Физика (Вопросы и ответы)

Материалы об О.Э. Мандельштаме в американских архивах

Иннокентий Серышев востоковед и эсперантист

Русская архитектура и градостроительство в Северо-Восточной Азии в ХХ в.:векторы взаимовлияний

4. Теория возмущения

Следующий раздел: 5. Вырожденный фермионный газ
Выше по контексту: Проект Краткая Энциклопедия. Физические Концепции
Предыдущий раздел: 3. Принцип неопределенности
Алфавитный индекс

4. Теория возмущения

Вопрос: В чем заключается теория возмущения?

Ответ: Теория возмущений позволяет исследовать сложную систему, если известна близкая к ней система, которая хорошо изучена (видимо потому, что она намного проще).

В широком смысле этого слова, теория возмущений есть совокупность методов разложения в ряд Тейлора по какому-нибудь малому параметру. Ряд Тейлора функции f(x) в окрестности точки x₀ есть:

$$f(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \displaystyle\frac{f$ ,

где f '(x₀) - первая производная f(x) в точке x₀, f " - вторая производная, f⁽ⁿ⁾ - n-ая производная функции f(x) в точке x₀. Разложение в ряд Тейлора позволяет находить значения функции в точке x, если известно ее локальное поведение вблизи точки x₀ (т.е. известны значение функции f(x) в x₀ и ее производные). Этот ряд есть разложение по параметру x-x₀. Если этот параметр мал (т.е. отклонение x от x₀ невелико), то каждый член ряда мал по сравнению с предыдущим, и для вычисления f(x) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда.

Пример: ряд Тейлора для функции $sin(x)$ вблизи точки x=0 имеет вид $sin(x) = x - \displaystyle\frac{x^3}{6} + \displaystyle\frac{x^5}{120} - \ldots$ . Вычислим с помощью этого ряда $sin(30) = sin(\pi/6) = 1/2$ . Нулевое приближение дает $sin(\pi/6)_{\mbox{пр}}= 0$ (функция взята в точке x=x₀. Это нас, естественно не удовлетворяет, нам нужна первая неисчезающая поправка к значению, равному нулю. В первом приближении, учитывая первое слагаемое ряда, имеем $sin(\displaystyle\frac{\pi}{6})_{\mbox{пр}}=\displaystyle\frac{\pi}{6} = 0.5236...$ , что уже гораздо лучше. Если же мы учтем второе кубическое слагаемое, то получим $sin(\displaystyle\frac{\pi}{6})_{\mbox{пр}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{(\pi/6)^3}{6}=0.4997...$ . Если x-x₀ велико, то ряд может сходиться медленно (и тогда от него мало пользы), а может и вообще расходиться. Т.е., теория возмущений работает, когда отклонение от известного значения (отклонение - это и есть возмущение) невелико.

Конкретная схема теории возмущений сильно зависит от задачи, которую надо решать, и методы теории возмущений очень разнообразны.

Подробнее в книгах: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Механика", том 1 курса теоретической физики, М.: Наука, 1988, А.Найфэ, "Методы возмущений", М: Мир.

E.M.Baldin@inp.nsk.su
23 Января 2000

Научная лаборатория школьников, Е.М.Балдин

Написать комментарий