Векторная алгебра - раздел математики, в котором изучаются простейшие операции над 3-мерными векторами. Исчисление, позволяющее оперировать геометрическими величинами но правилам алгебры, возникло в 19 веке и было окончательно оформлено в работах У. Р. Гамильтона (W. R. UainiHon) и Дж. У. Гиббса (J. W. Gibbs). Направленный отрезок a называется вектором, характеризуется длиной (модулем) и направлением. Сумма двух векторов a+b определяется по правилу треугольника (параллелограмма): вектор b откладывается от конца вектора a, и сумма a+b определяется как вектор, соединяющий начало a, с концом b. Если - действительное число, то вектор получается из вектора a растяжением в раз (при отрицательном происходит растяжение в раз и изменение направления на противоположное). Сумма векторов не меняется при перестановке слагаемых, т. е. сложение коммутативно. Кроме того, оно обладает свойством ассоциативности: (a+b)+c=a+(b+c) Для сложения векторов и умножения на число справедливы обычные правила раскрытия скобок (как при операциях с числами). Множество всех векторов пространства с введенными операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство.

Скалярное произведение двух векторов определяется как число , где a, b - длины соответствующих векторов, а - угол между ними. Векторное произведение [ab], или , определяется как вектор, имеющий длину , перпендикулярный к плоскости векторов a, b и направленный так, чтобы тройка a, b, [ab] была правой. Векторы правой (левой) тройки расположены по отношению друг другу так же, как большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Правая тройка переходит в левую при обращении направления одного или всех векторов тройки.

При перестановке сомножителей скалярное произведение не меняется, а векторное меняет знак. Скалярное произведение обращается в нуль для перпендикулярных (ортогональных) векторов, а векторное - для параллельных (коллинеарных). Имеет место свойство линейности скалярного и векторного произведений по одному из аргументов (любому): ,

Ясный геометрический смысл имеет смешанное произведение (a[bc]). Это число, равное объему параллелепипеда, построенного на тройке векторов a,b,c и взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, является ли эта тройка правой или левой. Смешанное произведение не меняется при циклической (круговой) перестановке его сомножителей: Оно обращается в нуль, если эти векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Другие полезные формулы:
[a[bc]]=b(ac)-c(ab)
[ab][cd]=a[b[cd]]=(ac)(bd)-(bc)(ad),
[a[bc]+[b[ca]]+[c[ab]]=0

Удобно задавать произвольный вектор a его компонентами, т. е. проекциями на оси декартовой системы координат, a={a₁,a₂,a₃}. Если e₁, e₂, e₃ - векторы единичной длины, направленные вдоль этих осей (орты), то a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃. Операции над векторами выражаются через их компоненты следующими формулами:
,
,
,
В правых частях последних двух формул стоят определители соответствующих матриц.