Если положение системы может быть описано одним единственным параметром ,
зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы. Примерами
таких систем являются хорошо известные из школьного курса математический и
пружинный маятники, изображенные на рис. 1.1, если первый из них движется в
одной плоскости, а второй - по прямой.
![](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/fig1-1.gif) | Рис. 1.1. |
Для математического маятника может характеризовать либо угловое
смещение , либо линейное смещение вдоль траектории
точечной массы от положения равновесия, а для пружинного
маятника где - смещение массы m от ее равновесного
положения, изображенного пунктиром.
Движение таких и подобных им систем можно описать на основе второго закона
Ньютона:
![$ m{\displaystyle \bf a} = {\displaystyle \bf F} $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula515.gif) | (1.1) |
Если пренебречь вначале силами сопротивления (в дальнейшем мы учтем их
действие), то на массу математического маятника будет действовать
результирующая сила ( - сила натяжения нити), направленная,
вообще говоря, под углом к траектории, а на массу пружинного маятника,
лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, - горизонтальная сила
, являющаяся функцией смещения от положения равновесия.
Так как смещение в случае математического маятника определяется
тангенциальным ускорением, то уравнение (1.1) для обоих маятников запишется
в виде
![$ m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = F_{\tau } (s) = - mg \sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}; \quad m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = F_{\tau } (s), $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula519.gif) | (1.2) |
где - длина нити.
В первом уравнении использована проекция результирующей силы
на направление скорости в виде ![$F_{\tau } = - mg \sin \alpha = - mg \sin {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}.$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula521.gif)
В рассматриваемых примерах возвращающая сила является,
вообще говоря, нелинейной функцией смещения . Поэтому точное решение
уравнений (1.2), которые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы
рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний.
Здесь же мы будем считать смещения малыми по сравнению с длиной нити или
длиной недеформированной пружины. При таких предположениях возвращающая сила
пропорциональна смещению:
![$ F_{\tau } (s) = - mg{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}; \quad F_{\tau } (s) = - ks . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula522.gif) | (1.3) |
Выражение слева записано при учете условия а справа - с использованием закона Гука,
справедливого при малых деформациях пружины с жесткостью .
С учетом (1.3) уравнения (1.2) примут одинаковый вид:
![$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}s; \quad {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle m}}}s. $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula524.gif) | (1.4) |
Различаются лишь коэффициенты в правых частях этих уравнений, которые
численно равны отношению возвращающей силы при единичном смещении к массе
колеблющегося тела и имеют размерность [с-2]. Если использовать
обозначения
![$ \omega _{0}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}, \quad \omega _{0}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle m}}}, $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula525.gif) | (1.5) |
то уравнения (1.4) примут вид уравнения незатухающих гармонических
колебаний, или уравнения гармонического осциллятора:
![$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - \omega _{0}^{2} s. $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula526.gif) | (1.6) |
Решением уравнения (1.6) является семейство гармонических функций
![$ s(t) = s_{0} \sin (\omega _{0} t + \varphi _{0} ), $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula527.gif) | (1.7) |
в чем легко убедиться, дважды продифференцировав функцию по времени:
Заметим, что если уравнение движения приводится к виду (1.6), то его
решением являются гармонические функции (1.7) с частотой
равной корню квадратному из коэффициента при .
Значения этих гармонических функций в начальный момент времени (при )
определяются начальной фазой (см. ниже) и амплитудой
колебаний У одной и той же системы эти значения могут быть
различными при разных способах возбуждения колебаний.
Чтобы возбудить собственные колебания, надо вначале (при ) либо
отклонить тело (задать начальное смещение ), либо толкнуть его (задать
начальную скорость ), либо сделать и то, и
другое одновременно. Знание начальных условий (смещения и скорости)
позволяет определить амплитуду и начальную фазу колебаний из очевидных уравнений:
![$ s(0) = {\displaystyle \left. {\displaystyle s(t)} \right|}_{t = 0} = {\displaystyle \left. {\displaystyle s_{0} \sin (\omega _{0} t + \varphi _{0} )} \right|}_{t = 0} = s_{0} \sin \varphi _{0} ; $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula534.gif) | (1.8) |
![$ v(0) = {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}} \right|}_{t = 0} = {\displaystyle \left. {\displaystyle s_{0} \omega _{0} \cos (\omega _{0} t + \varphi _{0} )} \right|}_{t = 0} = s_{0} \omega _{0} \cos \varphi _{0} . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula535.gif) | (1.9) |
Решение этих уравнений имеет вид:
![$ s_{0} = \sqrt {\displaystyle s^{2}(0) + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v^{2}(0)}}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0}^{2} }}}} ; \quad \varphi _{0} = arctg{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} s(0)}}{\displaystyle {\displaystyle v(0)}}}. $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula536.gif) | (1.10) |
Важно отметить, что амплитуда колебаний равная величине
максимального смещения тела от положения равновесия, может превосходить
начальное смещение при наличии начального толчка.
Наряду с круговой частотой колебания характеризуются
циклической частотой равной числу
колебаний за единицу времени, и периодом колебаний
равным длительности одного колебания.
Период гармонических колебаний (равно как и частоты и ) не зависит от начальных условий и равен
![$ T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \ell }}{\displaystyle {\displaystyle g}}}}, \quad T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m}}{\displaystyle {\displaystyle k}}}} . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula540.gif) | (1.11) |
Другим примером являются колебания физического маятника - тела
произвольной формы массы , закрепленного на горизонтальной оси {\displaystyle O}' так,
что его центр масс находится в точке O, удаленной от оси на расстояние .
При отклонении маятника от вертикали на небольшой угол он будет
совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести,
приложенной к центру масс (рис. 1.2).
![](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/fig1-2.gif) | Рис. 1.2. |
Если известен момент инерции тела относительно оси вращения, то уравнение
вращательного движения запишется в виде
![$ J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = M = - mga\sin \alpha . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula541.gif) | (1.12) |
Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол
увеличивается, то момент силы тяжести вызывает уменьшение этого
угла и, следовательно, при момент Это и отражает знак
минус в правой части (1.12).
Для малых углов отклонения уравнение (1.12) переходит в уравнение
гармонических колебаний
![$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mga}}{\displaystyle {\displaystyle J}}}\alpha, $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula544.gif) | (1.13) |
из вида которого сразу ясно, что частота и период колебаний
соответственно равны
![$ \omega _{0}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mga}}{\displaystyle {\displaystyle J}}}; \quad T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle mga}}}} . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula546.gif) | (1.14) |
Сравнивая выражения для периода колебаний физического (1.14) и
математического (1.11) маятников, легко видеть, что оба периода совпадают, если
![$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}} = \ell . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula547.gif) | (1.15) |
Поэтому физический маятник характеризуется приведенной длиной (1.15),
которая равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.
Период колебаний физического маятника (а, следовательно, и его приведенная
длина ) немонотонно зависит от расстояния . Это легко заметить, если
в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции выразить через
момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси,
проходящей через центр масс: Тогда период колебаний
(1.14) будет равен:
![$ T = 2\pi \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} + ma^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle mga}}}} . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula550.gif) | (1.16) |
Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс O в обе
стороны на расстояние а показано на рис. 1.3.
![](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/fig1-3.gif) | Рис. 1.3. |
Легко видеть, что один и тот же период колебаний может реализоваться
относительно любой из четырех осей, расположенных попарно по разные стороны
от центра масс. Можно показать, что сумма расстояний и
равна приведенной длине физического маятника: В силу симметрии графика ясно, что
![$ \ell = a_{2}^{ + } + a_{1}^{ - } . $](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/tex/formula554.gif) | (1.17) |
Это обстоятельство позволяет для любой оси вращения O+ определить
сопряженную ось O-. Период колебаний относительно этих осей одинаков,
а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника.
На рис. 1.4 изображены положения осей O+ и O-, при этом ось
вращения, удаленная на расстояние при такой форме маятника
находится вне его.
![](http://images.nature.web.ru/nature/2001/11/27/0001175042/fig1-4.gif) | Рис. 1.4. |
Физический маятник применяется для измерения ускорения свободного падения. С
этой целью измеряют зависимость периода колебаний маятника от положения оси
вращения и по этой экспериментальной зависимости находят в соответствии с
формулой (1.17) приведенную длину. Определенная таким образом приведенная
длина в сочетании с измеренным с хорошей точностью периодом колебаний
относительно обеих осей позволяет рассчитать ускорение свободного падения.
Важно отметить, что при таком способе измерений не требуется определение
положения центра масс, что в ряде случаев повышает точность измерений.
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[2]
|