Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

1.3. Волновая функция электрона в потенциальной яме

Рассмотрим движение электрона в поле потенциальных сил, имеющем форму одномерной потенциальной ямы $U ( x ),$ показанной на рис. 3.

Рис. 3.

Чтобы выйти за пределы потенциальной ямы электрон должен обладать кинетической энергией $Е$ , превышающей потенциальный барьер $U_{ 0}$ . В противном случае движение электрона ограничено стенками потенциальной ямы с координатами $x =0$ и $x = L_{ x}$ .

Для того, чтобы описать движение электронов в потенциальной яме, можно было бы положить волновую функцию электрона равной, например, нулю на ее границах. В результате отражений волн стационарные решения такой системы изображались бы стоячими волнами.

Однако, чтобы учесть возможность движения электрона в области потенциальной ямы, будем считать, что волновая функция периодична по $L_{ x}$ , и определена во всем пространстве как бегущая волна с однородной плотностью вероятности $\Psi \Psi ^{ \ast} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}$ (в отличие от стоячих волн, для которых $\Psi \Psi ^{ \ast} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle L}}}\sin ^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n\pi x}}{\displaystyle {\displaystyle L}}}$ ) и имеет одинаковые значения на границах кристалла:

$\Psi \left( {\displaystyle x + L_{ x} } \right) = \Psi \left( {\displaystyle x} \right),$

(1.18)

что обеспечивает непрерывность волновой функции на границах потенциальной ямы.

Такие периодические или циклические граничные условия (1.18) (условия Борна-Кармана) исключают необходимость рассмотрения процессов рассеяния электрона на границах кристалла, сохраняя возможность использования бегущих волн для описания электронов.

Учитывая (1.4), условие периодичности (1.18) для комплексной амплитуды волновой функции запишется в виде

$C\,e^{ i\,k(x + L_{ x} )} = C\,e^{ i\,kx}.$

Откуда получаем $e^{ - i\,kL_{ x} } = 1$ , то есть $\cos kL_{ x} =1$ , что накладывает ограничения на допустимые значения волнового вектора (а, следовательно, и импульса $\bf p} = \hbar {\displaystyle \bf k$ ), которые в потенциальной яме становятся дискретными (квантованными) и равными

$k_{ j} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}j_{ x}, \quad p_{ j} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}j_{ x}.$

(1.19)

где $j_{ x} =0, \pm 1, \pm 2,\ldots$

Учитывая условия нормировки ${\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ L} {\displaystyle \Psi \Psi ^{ \ast}} }dx = 1$ , комплексную амплитуду волновой функции электрона, которую мы обозначим как $\Psi ( x )$ , (в дальнейшем просто волновую функцию) можно записать в виде плоской волны:

$\Psi _{ j} (x) = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}} \right)^{ 1/2}e^{ i\,{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}j_{ x}^{ } x}.$

(1.20)

Кинетическая энергия $E = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}$ свободного электрона в одномерной яме с учетом квантования импульса будет иметь вид

$E_{ n} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}} \right)^{ 2}j_{ x}^{ 2}.$

Энергетическим спектром называется набор разрешенных значений энергии, которые электроны могут иметь при движении в кристаллической решетке.

Таким образом, в потенциальной яме энергетический спектр электрона становится дискретным (квантованным). Квант импульса $\Delta p_{ x} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}$ , так же как и квант энергии $\Delta E = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta p_{ x}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}$ , в действительности очень малы и спектр электрона считается квазинепрерывным.

В трехмерном случае для потенциальной ямы в форме параллелепипеда со сторонами $L_{ x}, L_{ y}, L_{ z}$ из условия (1.19) квантования компонент $k_{ x}, k_{ y}, k_{ z}$ волнового вектора k:

$k_{ x} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}j_{ x}, \quad k_{ y} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ y} }}}j_{ y}, \quad k_{ z} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ z} }}}j_{ z},$

(1.19а)

или импульса p:

$p_{ x} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} }}}j_{ x}, \quad p_{ y} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ y} }}}j_{ y}, \quad p_{ z} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L_{ z} }}}j_{ z},$

(1.19б)

где $j_{ x}, j_{ y}, j_{ z} =0, \pm 1, \pm 2,\ldots$ , получаем, что каждое разрешенное состояние занимает элементарный квантовый объем [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 4] в пространстве

волновых векторов k: $\Delta k_{ x} \cdot \Delta k_{ y} \cdot \Delta k_{ z} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle (2\pi )^{ 3}}}{\displaystyle {\displaystyle L_{ x} L_{ y} L_{ z} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle (2\pi )^{ 3}}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}$ ;	(1.21)
импульсов p: $\Delta p_{ x} \cdot \Delta p_{ y} \cdot \Delta p_{ z} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle (2\pi \hbar )^{ 3}}}{\displaystyle {\displaystyle W}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle h^{ 3}}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}$ ,

где $W = L_{ x}L_{ y}L_{ z}$ - объем кристалла.

Квантование волнового вектора (импульса) приводит к квантованию кинетической энергии. Положим для простоты $L_{ x} = L_{ y} = L_{ z}=L$ , тогда для кинетической энергии получим выражение:

$E(k_{ x},k_{ y},k_{ z} ) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}(k_{ x}^{ 2} + k_{ y}^{ 2} + k_{ z}^{ 2} )}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle L}}}} \right)^{ 2}j^{ 2} = \frac{\displaystyle (2\pi \hbar )^{ 2}}{\displaystyle 2m_{ 0} W^{ 2/3}}j^{ 2},$

(1.22)

где $j^{ 2} = j_{ x}^{ 2} + j_{ y}^{ 2} + j_{ z}^{ 2}$ .

Из формулы (1.22) видно, что одно и то же значение кинетической энергии (при фиксированном $j$ ) может осуществляться при помощи различных комбинаций чисел $j_{ x}, j_{ y}$ и $j_{ z}$ . Это означает, что нескольким квантовым состояниям с различными волновыми функциями отвечает одно и тоже значение энергии. Эти состояния являются вырожденными. Например, уровень энергии с $j^{ 2} =6$ для кубической потенциальной ямы может реализоваться тремя различными комбинациями чисел ( $j_{ x}, j_{ y}, j_{ z}$ ): (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2),то есть является трехкратно вырожденным.

Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 4, $\S$ 16; А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 2; Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, ч.II, гл.1, $\S$ 1; Дж.Займан, 1966, гл.I, $\S$ 6; Ч.Киттель, 1978, гл.7; Р.Фейнман и др., 1967, гл.14, $\S$ 6; К.В.Шалимова, 1985, $\S$ 2.5;]

1.4. Кристаллическая решетка. Элементарная ячейка

Кристаллическая решетка представляет собой периодически расположенные в пространстве атомы. Здесь и в дальнейшем для простоты будем рассматривать самую простую периодическую структуру, когда в трех взаимно перпендикулярных направлениях x, y, z атомы расположены на одинаковом расстоянии а друг от друга, называемом периодом решетки (рис.4). Тогда, выбрав начало отсчета системы ( x,y,z ) в точке расположения какого-либо атома, координаты других атомов решетки можно записать как

${\displaystyle \bf r}= j_{ 1}a {\displaystyle \bf e}_{ x} + j_{ 2}a{\displaystyle \bf e}_{ y} + j_{ 3}a{\displaystyle \bf e}_{ z},$

(1.23)

где $j_{ 1}, j_{ 2}, j_{ 3}$ - целые числа, принимающие значения $0, \pm 1, \pm 2,\ldots$ , e_x, e_y, e_z - единичные вектора вдоль осей x, y, z, соответственно, а a e_x, ae_y, ae_z называются основными трансляционными периодами решетки.

Рис. 4.

Минимальный объем кристалла, обладающий всеми свойствами симметрии решетки - элементарная ячейка. Трансляция одной элементарной ячейки на вектора (1.23) заполнит все пространство. В нашем случае элементарной ячейкой является куб со сторонами а, в вершинах которого расположены атомы. Каждый атом одновременно принадлежит четырем элементарным ячейкам, то есть входит одной четвертью в каждую из четырех элементарных ячеек его окружающих. Таким образом, получается, что для кубической решетки на одну элементарную ячейку объемом $а^{ 3}$ приходится один атом.

На рисунке 5 приведены примеры элементарных ячеек. Элементарная объемноцентрированная кубическая ячейка (рис.5а) получается из простой кубической добавлением в центр одного атома. Такая ячейка содержит уже 2 атома. Гранецентрированная кубическая ячейка (рис.5б) также образована из кубической добавлением в центр каждой из 6 граней по одному атому, каждый из которых принадлежит одновременно двум соседствующим ячейкам. Таким образом, на элементарную гранецентрированную кубическую ячейку приходится 4 атома. Проводя аналогичные рассуждения, можно видеть, что число атомов, приходящихся на элементарную ячейку, варьируется в зависимости от симметрии кристаллической структуры.


а	б
Рис. 5.

Для обозначения направлений в кристалле применяются индексы Миллера, представляющие собой набор наименьших чисел, относящихся между собой как компоненты вектора, параллельного данному направлению. Например (рис.4), направление оси x запишется как [100], отрицательное направление оси y - как [ $0\bar {\displaystyle 1}0$ ], направление одной из пространственных диагоналей кубической ячейки - [111]. Полная система эквивалентных направлений, например, всех пространственных диагоналей $[111], [ \bar {\displaystyle 1}11 ], [ 1\bar {\displaystyle 1}1 ], [ 11\bar {\displaystyle 1} ]$ и т.п. - обозначается через <111>.

Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 42, 43; Дж.Займан, 1966, гл.I, $\S$ 3; Ч.Киттель, 1978, гл.1; Д.В.Сивухин, 1990, $\S$ 129-133; А.К.Кикоин, И.К.Кикоин, 1976, $\S$ 119-121; Л.Д.Ландау, и др., 1969, гл.6]

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий