Ферми-частицы, к которым относятся и электроны, описываются не только
энергией и импульсом, но и собственным - внутренним моментом количества движения, называемым спином (от английского слова spin - "веретено"). Проекции спина электрона на
выделенное направление (например, направление напряженности магнитного поля
- ось z) имеет лишь два значения, равные . Обычно величину спина измеряют в единицах . Тогда спин электрона принимает значения .
Распределение частиц с полуцелым спином (ферми-частиц) по энергии
определяется функцией Ферми-Дирака. Принцип Паули (принцип
запрета), вводимый для ферми-частиц, запрещает двум (и более) тождественным частицам с полуцелым спином одновременно находиться в одном состоянии. Для свободного электрона состояние задается значением
волнового вектора k. Таким образом, принцип Паули вносит
корреляцию между частицами. Вероятность какой-либо частице занять то или
иное состояние зависит от степени заполнения состояний остальными частицами.
Найти вид функции распределения Ферми-Дирака можно, рассматривая систему
ферми-частиц, находящуюся в термодинамическом равновесии при температуре и
содержащую частиц с разными спинами в состояниях с энергией и
частиц в состояниях с энергией .
Пусть энергии соответствует число возможных состояний ( - степень вырождения энергетического уровня [А.Н.Матвеев, 1987]), а энергии - число состояний ( - степень вырождения энергетического уровня ).
Термодинамическая вероятность [А.Н.Матвеев, 1987] указанного выше
заполнения уровня энергии , то есть число различных вариантов заполнения, при которых из состояний заняты, а состояний свободны, равно
числу сочетаний [А.Н.Матвеев, 1987] :
Аналогично число возможных состояний системы, когда из
состояний с энергией занято частицами состояний, а
состояний свободны, равно
При этом учитывается, что в каждом состоянии может находиться только одна
ферми-частица с заданным направлением спина.
Число способов, которыми осуществляется такое распределение всей системы
частиц по состояниям (термодинамическая вероятность данного распределения
частиц), когда одновременно из и состояний с энергиями
и заполнено частицами соответственно и состояний,
определяется как произведение термодинамических вероятностей Г1 и Г2 :
| (1.12) |
Пусть теперь некоторое возмущение вызывает переход частиц с одного уровня
энергии на другой. При этом увеличение числа заполненных состояний на уровне
происходит за счет уменьшения такого же числа состояний на уровне
, то есть , так как полное число заполненных состояний
(полное число частиц) остается постоянным. В результате энергия системы
изменится на величину
| (1.13) |
При таком переходе становится другой и величина термодинамической
вероятности распределения энергии. Найдем изменение ее логарифма
, учитывая, что
для больших чисел справедлива формула Стирлинга
степени вырождения и в результате перехода не изменяются и потому ;
полное число электронов в системе постоянно, т.е.
Тогда логарифмируя и дифференцируя соотношение (1.12) и используя записанные
выше условия, получим:
Это выражение на основании (1.13) перепишем в виде:
| (1.14) |
При термодинамическом равновесии по статистическому определению
температуры [А.Н.Матвеев, 1987, 18] имеем:
Тогда, разделяя параметры первого и второго энергетических уровней, запишем
(1.14) в виде:
Откуда следует, что при термодинамическом равновесии выражение для данного ферми-газа
- постоянная величина.
Обозначая эту константу как , будем иметь:
| (1.15) |
Теперь учтем, что по определению функции распределения число заполненных
состояний n и число свободных состояний p можно представить в виде:
Тогда (1.15) принимает вид:
Откуда следует выражение для функции Ферми-Дирака
равновесного распределения частиц по энергии при температуре Т (рис.2):
| (1.16) |
Функция f(Е) равна плотности вероятности того, что в состоянии теплового равновесия идеального газа ферми-частиц при температуре Т состояние с энергией Е занято частицей.
Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, 14-16; А.Н.Матвеев, 1987, 2; Дж.Займан, 1966, гл.4, 5; Ч.Киттель, 1978, гл.7; Д.В.Сивухин, 1990, 83; И.Е.Тамм, 1954, 41; К.В.Шалимова, 1985, 4.2]
Величина энергии в выражении (1.15) для функции Ферми-Дирака
называется химическим потенциалом. Из (1.13) следует, что вероятность f(E) заполнения электроном состояния с энергией при любых температурах (рис.2) равна
Значение химического потенциала при носит специальное название - энергия Ферми (подробнее об энергии Ферми будет говориться ниже).
| | | а | б | в | Рис. 2. Функция распределения Ферми-Дирака при различных температурах: (а) при ; (б) при , (в) - линейная экстраполяция при низких температурах (1.17). Полное число частиц постоянно и не зависит от температуры |
При благодаря хаотическому тепловому движению частиц функция
распределения Ферми-Дирака размывается в окрестности энергии Ферми.
При низких температурах функцию в области значений Е, близких к , можно
описать линейной зависимостью, если воспользоваться представлением в виде
ряда Тейлора, ограничиваясь только нулевым и первым членами разложения по
величине отклонения энергии от :
Получаемая линейная зависимость для значений Е, близких к (рис.2 в ):
| (1.17) |
определяет касательную в точке .
В таком приближении функция распределения принимает значение единица при
, нуль - при .
Таким образом, можно считать, что размытие распределения Ферми-Дирака
при низких температурах приблизительно составляет .
Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, 14-16; Д.В.Сивухин, 1990, 83]
Назад| Вперед
Написать комментарий
|