Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

N12. Тепловой слой электронов. Оценить какая доля электронов зоны проводимости кобальта находится в возбужденных состояниях при температуре плавления, если энергия Ферми у кобальта равна $E _{ F} =1,1эВ$ ? Температура плавления кобальта $t _{ ПЛ} \approx 1492 ^\circ C.$

Решение: Рассмотрим кристалл единичного объема. Для оценки примем следующие приближения.

Положим значение химического потенциала для температур вблизи температуры плавления приблизительно равным значению энергии Ферми $\mu \approx {\displaystyle \rm E} _{ F}$ .

Плотность состояний $\rho ( E )$ вблизи уровня Ферми слабо изменяется $\rho ( E ) \approx \rho ( \mu )$ . Так как полное число электронов $n _{ 0}$ в зоне проводимости равно (2.1) $n_{ 0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 8}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \left( {\displaystyle 2m\mu } \right)^{ 3/2}}}{{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 3}}}}} ,$ то на основании (2.4а) можно записать

$\rho ( E ) \approx \rho \left( {\displaystyle \mu } \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n_{ 0} }}{\displaystyle {\displaystyle \mu }}} .$

Ступеньку распределения Ферми-Дирака заменим линейной зависимостью (1.17):

$f(E) \approx f_{ lin} \left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\left( {\displaystyle 1 - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle 2kT}}}} \right) .$

Тогда число возбужденных электронов, находящихся выше энергии Ферми, оценивается как

$\Delta n = {\displaystyle \int\limits_{ \mu }^{ \mu + 2kT} {\displaystyle \rho \left( {\displaystyle E} \right)f\left( {\displaystyle E} \right)dE \approx \rho \left( {\displaystyle \mu } \right)S_{ \Delta } = } }\rho \left( {\displaystyle E_{ F} } \right) \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}2kT} \right) = \rho \left( {\displaystyle \mu } \right){\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}},$

что составляет от полного числа электронов

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta n}}{\displaystyle {\displaystyle n_{ 0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 4}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle \mu }}} \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 4}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}} \approx 10\% .$

Ответ: ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta n}}{\displaystyle {\displaystyle n_{ 0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 4}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}} \approx 10\% .$

N13 Теплоемкость электронного газа [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 16; Дж.Займан, 1966, гл.4, $\S$ 7; Ч.Киттель, 1978, гл.7]. Показать, что теплоемкость электронного газа в металлах пропорциональна температуре.

Решение. Электроны в металле вырождены. Это значит, что к ним не применимо распределение Максвелла-Больцмана и теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы, которая позволяет легко рассчитать теплоемкость идеального газа.

Поскольку электронный газ вырожден, то тепловой энергией $\sim kТ$ обладают только электроны, находящиеся в слое толщины $\Delta Е \sim 2kТ$ (1.17) вблизи поверхности Ферми. Число электронных состояний в этом слое на основании (2.4) равно

$dN\left( {\displaystyle E} \right) = 2{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 4\pi p^{ 2}dp}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 3} / W}}} \approx 3 (zN)kT/E _{ F}$

где учтено, что полное число электронов определяется соотношением (2.1)

$2{\displaystyle \frac{\displaystyle 4/3\pi p_{ F}^{ 3} dp}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 3} / W}}} = zN.$

Таким образом, полная энергия всех тепловых электронов равна

$U _{ T} \approx kT \cdot dN(E) \approx 3(zN)(kT) ^{ 2} /E _{ F} ,$

и пропорциональна $Т ^{ 2} ,$ а молярная теплоемкость при постоянном объеме

$C_{ V} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle N_{ A} }}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle zN} \right)}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dU}}{\displaystyle {\displaystyle dT}}} = 6R{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}}\sim T$

пропорциональна температуре. Более точные расчеты дают для молярной теплоемкости значение $C_{ V} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}R{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}} .$

Теплоемкость металлов при нормальных условиях близка к $3R$ по закону Дюлонга и Пти. Поскольку в этих условиях $kT\ll E _{ F} ,$ то электронная теплоемкость пренебрежимо мала по сравнению с решеточной теплоемкостью. Однако при низких температурах, когда теплоемкость решетки подчиняется закону Дебая и уменьшается с температурой пропорционально $\sim Т ^{ 3} ,$ электронная теплоемкость может превосходить решеточную.

N14. Теплоемкость электронного газа. Известно, что у массивных металлов электронная теплоемкость во всей области температур пропорциональна температуре (см. задачу N13). Как изменится температурная зависимость теплоемкости для маленьких металлических частичек одновалентного металла с простой кубической решеткой c периодом $а \approx 3\mbox{ \AA} .$ Размер частичек имеет порядок $L \approx 10 ^{ - 5} см.$

Решение. Для малых частиц существенным может оказаться квантование энергии в зоне. Определим характерную температуру $Т*$ , при которой расстояние между энергетическими уровнями $\Delta {\displaystyle \rm E}$ сравнится с тепловой энергией $\Delta {\displaystyle \rm E} \approx kТ*.$ Используя результат задачи N5, получим

$\Delta E = kT^{ * } \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}2\pi \left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}} \right)^{1/3}}}{\displaystyle {\displaystyle amL}}} \approx 7,6 \cdot 10^{ - 21}Дж,$

что соответствует температуре $Т* \approx 550К.$

Таким образом, при температурах ниже $Т* \approx 550К$ число тепловых электронов $dN _{ T}$ будет определяться характерным больцмановским множителем $\exp \left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right) ,$ что приведет к экспоненциальной зависимости теплоемкости от температуры $C\sim \exp \left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right) .$ Число тепловых электронов можно оценить как $dN_{ T} = \rho \left( {\displaystyle E_{ F} } \right)\exp \left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right) ,$ их энергия - $U _{ T} \approx kT \cdot dN _{ T} ,$ а теплоемкость

$C = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dU}}{\displaystyle {\displaystyle dT}}} \approx k\rho \left( {\displaystyle E_{ F} } \right)\left( {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right) \cdot \exp \left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right).$

Ответ: при температурах ниже $T\lt Т* \approx 550К$ теплоемкость будет иметь экспоненциальный характер $C\sim \exp \left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right) .$

N15 Фермиевская скорость электронов. Определить фермиевскую скорость электронов в одномерном металле с одним электроном на элементарную ячейку и законом дисперсии $E=E _{ o} [1-cos(k _{ x} a)],$ где $Е _{ о} =0,5эВ$ и $а=3А ^{ о}$ ( ${\displaystyle \bf k} = {\displaystyle \bf p}/\hbar$ - волновой вектор).

Решение. Так как по определению скорость электрона ${\displaystyle \bf V} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dE}}{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}} ,$ то фермиевская скорость при законе дисперсии $E=E _{ o} [cos(k _{ x} a)-1]$ запишется в виде

$V_{ \bf F}=\left. \frac{\displaystyle \partial E}{\displaystyle \partial p}\right|_{ p=p_F}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \hbar}E_0 a\sin\left( p_F\frac{\displaystyle a}{\displaystyle \hbar}\right).$

Фермиевский импульс связан с концентрацией электронов $n$ следующими соотношениями.

В трехмерном случае - $2\frac{\displaystyle 4/3\pi p_F^3}{\displaystyle (2\pi\hbar )^3}=n$ и $p_{ F} = \hbar \left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}n} \right)^{1/3} .$

(1)

В двумерном - $2\frac{\displaystyle \pi p_F^2}{\displaystyle (2\pi\hbar )^2}=n$ и $p_{ F} = \hbar \left( {\displaystyle 2\pi n} \right)^{ 1/2} .$ (2)

В одномерном - $2\frac{\displaystyle 2\pi p_F}{\displaystyle (2\pi\hbar )}=n$ и $p_{ F} = \hbar {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}n .$ (3)

Поскольку по условию задачи на элементарную ячейку приходится один электрон, то энергетическая зона заполнена наполовину и концентрация равна $n=1/a.$ Учитывая также, что в одномерном случае $p_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} ,$ получим $V_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ 0} a}}{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}} =2,3 \cdot 10 ^{ 5} м/c.$

Ответ: $V_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ 0} a}}{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}} =2,3 \cdot 10 ^{ 5} м/c.$

N16 Фермиевская скорость электронов. Вычислить фермиевскую скорость электронов в двумерном металле с квадратной решеткой, если закон дисперсии электронов имеет вид $E\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf p}} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2m}}}\left( {\displaystyle p_{ x}^{ 2} + p_{ y}^{ 2} } \right) .$ Площадь элементарной ячейки в плоскости решетки равна $S=0,85a ^{ 2} , a=3A ^{ o} .$ Считать, что на элементарную ячейку приходится один электрон проводимости, а масса $m$ равна массе свободного электрона.

Решение. аналогично задаче 15 при условии (2). Поскольку $n=1/S,$ то из соотношения (2) получим $p_{ F} = \hbar \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle S}}}} .$ Модуль скорости электронов на поверхности Ферми будет равен

$V_{ F} = {\displaystyle \left. {\displaystyle \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x} }}}} \right)^{ 2} + \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ y} }}}} \right)^{ 2}} } \right|}_{ p_{ F} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ F} }}{\displaystyle {\displaystyle m}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle m}}}\sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle S}}}} \approx 1,05 \cdot 10^{ 6}м / с.$

Фермиевский импульс можно найти иначе, определив сначала объем (площадь) зоны Бриллюэна, так как он связан с объемом (площадью) элементарной ячейки в двумерном случае соотношением $S _{ Бр} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle S}}} .$ Так как по условию задачи на элементарную ячейку приходится один электрон, то энергетическая зона заполнена наполовину и фермиевский импульс определится из условия $S _{ Бр} /2= \pi p _{ F}^{ 2} .$

Ответ: $V_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle m}}}\sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle S}}}} \approx 1,05 \cdot 10 ^{ 6} м/с.$

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий