Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

4.5. Влияние внешних воздействий на зонную структуру энергетического спектра электронов

Зонная структура энергетического спектра вещества может изменяться под воздействием внешних параметров: давления, магнитного поля, состава и т.д.

Для наглядности на рисунке 39 приведена, полученная на основании экспериментальных данных [Г.А.Миронова, 1979] диаграмма перестройки энергетического спектра сплавов Bi_{1 - x}Sb_x при изменении концентрации сурьмы в интервале $0 \le х \le 0,12$ . Первая зона Бриллюэна для Bi и Sb близка по форме к зоне Бриллюэна для гранецентрированной решетки (рис.19б). В висмуте энергетическая щель в точке L (рис.39) при х=0 мала $|E_{ gL} |=11,4$ мэВ и наблюдается перекрытие валентной зоны, расположенной в точке T с зоной проводимости в точке L.

Рис. 39.

Поскольку в висмуте реализуется структура с двумя атомами в элементарной ячейке, то, без перекрытия зон висмут был бы собственным полупроводником с полностью заполненной валентной зоной и пустой зоной проводимости. При перекрытии зон часть электронов из валентной зоны перетекает в зону проводимости, в результате чего висмут является полуметаллом (аналогичная ситуация рассмотрена в 2.8, рис.22). Три электронные поверхности Ферми у висмута и сурьмы находятся в центрах шестигранников зоны Бриллюэна (точки L на рис.19а) в виде трех эллипсоидов. Дырочная поверхность Ферми близкая по форме к эллипсоиду вращения у Bi расположена в точке T. Уровень Ферми у Bi лежит на $E_{ F} =(35 \div 36)$ мэВ выше дна зоны проводимости в точке L (см. рис.39 при х=0).

При легировании висмута сурьмой границы зон смещаются (рис.39): потолок валентной зоны в точке Т смещается вниз относительно дна зоны проводимости в точке L. При этом величина перекрытия и, соответственно, концентрации электронов и дырок уменьшаются. При концентрации сурьмы х=0,07 перекрытие обращается в нуль (Е_п =0). При больших концентрациях (х>0,07)в спектре образуется энергетическая щель и сплав становится собственным полупроводником. На рисунке 39 изображены экстремумы энергетических зон для полупроводникового сплава Bi_{1 - x}Sb_x при $х \approx 0,11$ .

Энергетическая щель у полупроводниковых сплавов Bi_{1 - x}Sb_x ( $0,07 \le х \le 0,22$ ) не превосходит 30мэВ. Поэтому эти сплавы относятся к классу узкощелевых полупроводников.

Аналогичная перестройка энергетического спектра происходит под действием давления. На рисунке 40 показана перестройка спектра полупроводникового сплава Bi_{1 - x}Sb_x ( $х \approx 0,12$ ) с прямой энергетической щелью $E_{ gL} =14,5$ мэВ под действием давления. Энергетическая щель $E_{ gL}$ уменьшается под действием давления и при некотором критическом давлении обращается в нуль. При этом давлении сплав переходит в новое состояние, которое получило название бесщелевого. Это состояние является промежуточным между полуметаллом и полупроводником. Его можно рассматривать как предельный случай полуметалла с вырожденными в точки изоэнергетическими поверхностями или как предельный случай полупроводника с нулевой прямой щелью между зонами. В бесщелевом состоянии вещество приобретает новые свойства, качественно отличающие его от металлов и полупроводников. Например, в этом состоянии эффективные массы электронов на дне зоны проводимости и дырок у потолка валентной зоны обращаются в нуль.

Рис. 40.

Задачи

Ряд задач, которые, по мнению автора, имеют самостоятельный интерес или методическое значение, сопровождается решением.

N1. Распределение Ферми-Дирака. Пусть $\delta =Е-Е _{ F}$ . Показать, что функция распределения Ферми-Дирака удовлетворяет условию:

$f(E _{ F} + \delta )=1-f(E _{ F} - \delta ).$

N2. Распределение Ферми-Дирака. Вычислить функцию распределения Ферми-Дирака для $\delta _{ 1} =kT, \delta _{ 2} =2kT, \delta _{ 3} =4kT, \delta _{ 4} =10kT,$ где $\delta =Е-Е _{ F}$ . Для $\delta _{ 1 }$ оценить погрешность, допускаемую при линеаризации ступеньки в виде $f_{ lin} \left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\left( {\displaystyle 1 - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle 2kT}}}} \right)$ .

Ответ: $f _{ 1} =(1+e) ^{ - 1} \approx 0,27; f _{ 2} =(1+e ^{ 2} ) ^{ - 1} \approx 0,12; f _{ 3} =(1+e ^{ 4} ) ^{ - 1} \approx 0,018; f _{ 4} =(1+e ^{ 10} ) ^{ - 1} \approx 4,5 \cdot 10 ^{ - 5} ; {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle f\left( {\displaystyle \delta _{ 1} } \right) - f_{ lin} \left( {\displaystyle \delta _{ 1} } \right)}}{\displaystyle {\displaystyle f\left( {\displaystyle \delta _{ 1} } \right)}}} \approx 0,067 = 6,7\% .$

N3 Распределение Ферми-Дирака. Используя зависимость (2.13) $\mu (Т)$ в области низких температур, получите выражение для функции распределения Ферми-Дирака $f(Е)$ для заданной температуры и оцените во сколько раз изменится вероятность состояния с энергией $Е=Е _{ F} =0,2 эВ$ при изменении температуры от $Т _{ 1} =400К$ до $Т _{ 2} =200К$ .

Ответ:

$f\left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + \exp \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}} - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}{\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle 1 - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 6}}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}}} \right)^{ 2}} \right\}}} \right)} \right]}^{ - 1};$

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle f\left( {\displaystyle T_{ 2} } \right)}}{\displaystyle {\displaystyle f\left( {\displaystyle T_{ 1} } \right)}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1 + \exp \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 60}}}} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle 1 + \exp \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 30}}}} \right)}}} \approx 0,91.$

N4 Химический потенциал для двумерного Ферми-газа. Получите точное (интегральное) уравнение для химического потенциала $\mu (Т)$ для двумерного идеального электронного газа.

Ответ: ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ F} }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}} = {\displaystyle \int\limits_{ - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}}^{ \infty } {\displaystyle \left( {\displaystyle 1 + \exp \xi } \right)^{ - 1}} }d\xi .$

N5 Дискретность энергии в зоне. Оценить приблизительно размер металлической частицы, для которой максимальное расстояние между уровнями в энергетической зоне может быть существенным. Указание: найти число атомов, при котором максимальное расстояние между энергетическими уровнями было бы равно $\Delta Е$ при 1 ${\displaystyle }^\circ$ К.

Решение. Импульс электрона в металле принимает дискретные значения, что связано с ограниченностью движения электронов размерами кристалла:

${\displaystyle \bf p} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L}}}j_{ x} {\displaystyle \bf e}_{ x} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L}}}j_{ y} {\displaystyle \bf e}_{ y} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L}}}j_{ z} {\displaystyle \bf e}_{ z} \quad .$ Квант импульса равен

$\Delta p = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle L}}}$ (1)

Соответствующее расстояние между энергетическими уровнями

$\Delta E = \Delta \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m}}}} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle m}}}p\Delta p$

(2)

увеличивается с ростом импульса и максимально для электронов с импульсом Ферми.

На основании (2.2) фермиевский импульс равен

$p_{ F} = \hbar \left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle N}}{\displaystyle {\displaystyle L^{ 3}}}}} \right)^{ 1/3} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}} \right)^{ 1/3},$

(3)

где $L ^{ 3}$ - объем кристалла, $a ^{ 3 }$ - объем элементарной ячейки, $N=L ^{ 3} /a ^{ 3}$ - число атомов в кристалле.

Подставляя в (2) $\Delta p$ и $p _{ F}$ , соответственно, из (1) и (3), получим

$L = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}2\pi \left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}} \right)^{ 1/3}}}{\displaystyle {\displaystyle am\Delta E}}} \approx 7 \cdot 10^{ - 5}м,$

(4)

где межатомное расстояние а для оценки полагалось равным а $\approx 1\mbox{ \AA}$

Ответ: $L \approx 7 \cdot 10 ^{ - 5} м.$

N6. Фермиевский импульс. Для одновалентного металла с простой кубической решеткой с периодом $а=3,3\mbox{ \AA}$ определить фермиевский импульс $p _{ F}$ и минимальное расстояние $\Delta р$ от поверхности Ферми до границы зоны Бриллюэна. Какая часть зоны заполнена электронами? Найти отношение $\Delta р/p _{ F}$ .

Решение. На основании (2.2) фермиевский импульс равен

$p_{ F} = \hbar \left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle N}}{\displaystyle {\displaystyle L^{ 3}}}}} \right)^{1/3} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}} \right)^{1/3} \approx 9,9 \cdot 10 ^{ - 25} кг \cdot м/с,$

где $L ^{ 3 }$ - объем кристалла, $a ^{ 3}$ - объем элементарной ячейки, $N=L ^{ 3} /a ^{ 3}$ - число атомов в кристалле. Первая зона Бриллюэна представляет собой куб со стороной $2 \pi \hbar /a$ в импульсном пространстве. Отсюда получаем

$\Delta p = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} - p_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle \pi }}}} \right)^{1/3}} \right]} \approx 1,5 \cdot 10^{ - 26}кг \cdot м / с;$

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta p}}{\displaystyle {\displaystyle p_{ F} }}} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}} \right)^{ 1/3} - 1 \approx 0,015; \quad {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle 4/3}}\pi p_{ F}^{ 3} }{\displaystyle {\displaystyle \left( 2\pi \hbar / a \right)^{ 3}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}.$

Ответ: $p _{ F} \approx 9,9 \cdot 10 ^{ - 25} кг \cdot м/с; \Delta p \approx 1,5 \cdot 10 ^{ - 26} кг \cdot м/с; \Delta p/p _{ F} \approx 0,015.$ Заполнена половина зоны.

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий