Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

4.4. Движение электронов в металле под действием внешнего электрического поля.

Рассмотрим для простоты одномерную цепочку атомов, расположенных вдоль оси OX. Расстояние между атомами равно а. Для заданной одномерной структуры на рисунке 37 изображены зависимости кинетической энергии Е, скорости $V_{ x} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x} }}}$ и эффективной массы $m^{ * } \equiv m_{ xx}^{ * } = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x}^{ 2} }}}} \right)$ электрона от компоненты импульса $p_{ x}$ . В точках экстремумов энергии ( $p_{ x} =0, p_{ x} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ ) у нижнего и верхнего краев энергетической зоны скорость движения электрона равна нулю.

Пусть однородное электрическое поле напряженностью $\vec {\displaystyle {\displaystyle \cal E}}$ напрaвлeно противоположно оси ОХ.

Рассмотрим движение одного валентного электрона, находящегося в зоне проводимости, с импульсом p и энергией E в отсутствии поля равными нулю (центр зоны Бриллюэна). Под действием внешней силы со стороны электрического поля

${\displaystyle \bf F}=q \vec {\displaystyle {\displaystyle \cal E}} = | q | {\displaystyle \cal E} {\displaystyle \bf e}_{ x},$

(4.17)

направленной вдоль оси ОХ, квазиимпульс электрона будет согласно уравнению движения $\frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf F$ линейно возрастать со временем:

$p_{ x} = |q| {\displaystyle \cal E} t$

(4.18)

от нуля до значения $p_{ x} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ (рис.37а). Дальнейшее увеличение квазиимпульса в схеме приведенных зон соответствует изменению импульса в интервале $( - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}},0 )$ , так как точки с импульсами $( + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} )$ и $( - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} )$ физически эквивалентны. Таким образом, в схеме приведенных зон вектор квазиимпульса электрона периодически изменяется со временем от значения $( - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} )$ до $( + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} )$ . Каждый раз, когда квазиимпульс достигает значения $( p = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} )$ на границе зоны Бриллюэна, он "скачком" меняется на обратный: электрон зеркально отражается от границы зоны Бриллюэна. Период движения на основании (4.18) равен

$T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta p}}{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}E}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a{\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}E}}}.$

(4.19)

Рис. 37.

Примечание. В модели расширенных зон (рис.15в) импульс электрона не испытывает "скачков", а увеличивается линейно со временем неограниченно так, что при движении электрон преодолевает все новые и новые "энергетические горки", высота которых равна ширине энергетической зоны.

Совершенно иначе меняется скорость электрона (4.6). Вектор скорости V изменяется не пропорционально квазиимпульсу p. В начале движения, когда квазиимпульс электрона мал, происходит обычное ускорение электрона, при котором его скорость V увеличивается в направлении внешней силы F. Квазиимпульс p увеличивается, уменьшается длина волны и электрон в импульсном пространстве движется к границе зоны Бриллюэна. При этом скорость электрона нарастает не так быстро, как для свободного электрона, так как часть ускоряющей внешней силы идет на преодоление реакции решетки. Рост скорости постепенно замедляется и при значении квазиимпульса p' (рис.37б) скорость достигает максимального значения. После этого реакция решетки становится больше внешней силы, что соответствует эффективному возрастанию отраженной от решетки компоненты электронной волны. Скорость электрона, продолжающего движение по инерции, начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при квазиимпульсе $p_{ x} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ (на границе зоны Бриллюэна). После остановки электрон ускоряется в обратном направлении под действием сил реакции решетки, превышающих внешнюю силу (при значениях квазиимпульса $( - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} \lt p_{ x} \lt 0 )$ . При $p_{ x} =-p '$ силы сравниваются, скорость достигает максимального значения. При $-p '_{ x} \ll 0$ электрон замедляется под действием силы $| q| {\displaystyle \cal E}$ (4.17), так что его скорость обращается в нуль в центре зоны Бриллюэна при p=0. Это вторая точка остановки электрона в реальном пространстве. Движение электрона напоминает движение шарика, падающего на упругую плиту в поле силы тяжести.

Изменение скорости электрона во внешнем поле можно рассмотреть, не прибегая к внутренним, действующим со стороны решетки силам в явном виде, а воспользоваться понятием эффективной массы, которая формально учитывает действие на электрон этих внутренних кристаллических сил. Так движение электрона в области $p}' \lt p_{ x} \lt {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}$ можно описать действием только внешней силы двумя эквивалентными способами: считать, что в точке $p'$ эффективная масса изменила знак и стала отрицательной, или считать, что масса не изменила знака, но изменился заряд электрона на положительный.

То, что эффективная масса (рис.37в) не определена внутри энергетической зоны (вблизи р '), не позволяет записать аналитически закон дис-персии сразу для всей зоны. Простая аналитическая зависимость возможна, как мы видели (см. 4.1), только вблизи дна и потолка зоны, где масса слабо меняется и можно считать $m^{ * } \approx {\displaystyle \rm const}$ .

В одномерном случае представить движение электрона одновременно и в r-, и в p- пространствах можно с помощью рисунка 38. На рис.38а изображены валентная зона и зона проводимости, дно которой находится в некоторой точке зоны Бриллюэна. Энергию и импульс будем отсчитывать от дна зоны проводимости. Потолку зоны проводимости соответствует максимальное значение импульса $p_{ max} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ (см. рис.37а). Разрешенные (дважды вырожденные по спину) энергетические состояния в каждой зоне условно изображены горизонтальными линиями. Без поля электрон находится на одном из уровней энергетической зоны и может перемещаться вдоль кристалла на любые расстояния, имея постоянное значение кинетической энергии и квазиимпульса. Пусть без поля ( ${\displaystyle \cal E} =0$ ) электрон находился на дне зоны проводимости ( $p_{ 1} =0, E=0$ ) и в момент включения электрического поля t=0 имел координату $x_{ 1} =0$ (рис.38а).

Рис. 38.

Во внешнем электрическом поле с напряженностью ( $- {\displaystyle \cal E} {\displaystyle \bf e}_{ x}$ ) к кинетической энергии Е электрона добавляется потенциальная энергия $E_{ pot} =- | q | {\displaystyle \cal E} x$ (при нормировке $E_{ pot} (x=0)=0$ ), так, что теперь полная энергия $E _{ 0} =E+E_{ pot}$ остается постоянной во время движения. Таким образом, двигаясь вдоль оси ОХ под действием cилы F (4.17) (пунктирная линия на рисунке 38а) электрон приобретает кинетическую энергию, равную убыли потенциальной $\Delta Е=- \Delta Е _{ pot}$ . В точке $x_{ 2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ max} }}{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}{\displaystyle \cal E}}}}$ электрон достигает потолка зоны (рис.38а). Далее, поскольку скорость электрона становится отрицательной (электрон перескакивает в область $- {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} \lt p_{ x} \lt 0$ на рис.37б), то он возвращается в точку $х_{ 1} =0$ . Таким образом, электрон совершает колебательное движение в координатном пространстве между точками, в которых его кинетическая энергия минимальна (точка $х_{ 1}$ ) и соответствует дну зоны и максимальна (точка $х_{ 2}$ ) и соответствует потолку зоны.

Если по оси ординат откладывать полную энергию $E_{ 0} =E+E_{ pot}$ , то во-первых, колебательное движение электрона будет изображаться горизонтальным отрезком прямой, параллельной оси ОХ (рис.38б). Во-вторых, все уровни энергии в зонах (горизонтальные при ${\displaystyle \cal E} =0$ на рис.38а) будут одинаково наклонены за счет добавления потенциальной энергии. Наклон границ зон в координатном пространстве будет описываться зависимостью от координат потенциальной энергии E_pot(x). Так, в нашем случае, энергии, соответствующие дну и потолку зоны проводимости, будут зависеть от х, соответственно: $E_{ 0}^{ bt} (x) =- | q | {\displaystyle \cal E} x; \; E_{ 0}^{ tp} (x) =E _{ max} - | q | {\displaystyle \cal E} x$ .

Таким образом кинетическая энергия электрона, отсчитанная от дна зоны проводимости, в потенциальном поле является функцией координат $E(x)=E _{ 0} -E _{ pot} (x)=Е _{ 0} - | q | {\displaystyle \cal E} x$ .

При отсутствии сил трения (диссипации энергии) колебательное движение электрона будет продолжаться до бесконечности с постоянной амплитудой. Изменение кинетической энергии, совпадающее с шириной $\Delta E$ энергетической зоны, при движении электрона равно работе, которую совершает постоянная сила $| q | {\displaystyle \cal E}$ на пути $x _{ 2} -x _{ 1} =2x _{ 0}$ (между двумя точками остановки в кристалле):

$\Delta E = {\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}{\displaystyle \cal E}2x_{ 0} .$

Отсюда амплитуда колебаний равна

$x_{ 0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta E}}{\displaystyle {\displaystyle 2{\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}{\displaystyle \cal E}}}}.$

(4.20)

За один период Т колебаний под действием силы $| q | {\displaystyle \cal E}$ импульс электрона изменяется на величину $\sim {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} = {\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}{\displaystyle \cal E}T$ , откуда частота колебаний равна

$\nu = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle T}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle a{\displaystyle \left| {\displaystyle q} \right|}{\displaystyle \cal E}}}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}}$

Ширина энергетической зоны $\Delta E$ в металлах составляет величину порядка нескольких электрон-вольт. При значениях напряженности электрического поля $\cal E}\sim 10 ^{ - 4$ В/м амплитуда достигает величин $\sim 10 ^{ 4}$ м. Колебания с такой гигантской амплитудой должны были бы совершаться с низкой частотой $\nu \sim 50$ Гц.

Так как длина свободного пробега электрона значительно меньше ожидаемой амплитуды колебаний, то такое периодическое движение электрона в кристалле не осуществляется. Электрон совершает не колебательное, а поступательное движение на коротких участках пути между последовательными актами рассеяния.

Мы приходим к парадоксальному заключению, что отсутствие рассеяния привело бы не к бесконечному росту электрического тока, как это было бы в свободном пространстве, а к возникновению переменного тока с частотой (близкой к промышленной частоте 50Гц), зависящей от напряженности приложенного электрического поля.

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий