Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

4.3 Полупроводники с "собственной" проводимостью.

Собственный полупроводник - это идеально чистый полупроводник, в котором под действием температуры или при оптическом возбуждении часть электронов из валентной зоны перебрасывается в зону проводимости, в результате чего образуется равное количество электронов и дырок. При температуре Т=0 валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости - свободна.

Вычислим концентрации электронов n_c и дырок n_v при $Т \ne 0$ .Будем отсчитывать энергию электронов $\varepsilon _{ c }$ от дна зоны проводимости $E_{ c}$ вверх, а дырок $\varepsilon _{ v}$ от потолка валентной зоны $E_{ v}$ вниз (рис.34). Тогда концентрацию электронов n_c в зоне проводимости и дырок n_v в валентной зоне при $Т \ne 0$ можно записать в виде (2.6):

$n_{ c} = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle f\left( {\displaystyle E_{ c} + \varepsilon _{ c} } \right)\rho _{ c} \left( {\displaystyle \varepsilon _{ c} } \right)} }d\varepsilon _{ c}$

(4.9)

$n_{ v} = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle {\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - f\left( {\displaystyle E_{ v} - \varepsilon _{ v} } \right)} \right]}\rho _{ v} \left( {\displaystyle \varepsilon _{ v} } \right)} }d\varepsilon _{ v}$ (4.10)

где f(E) - функция распределения Ферми-Дирака, $[1-f(E_{ v} - \varepsilon _{ v} )]$ - вероятность не заполнения электроном состояния с энергией $E=E_{ v} - \varepsilon _{ v}$ , то есть вероятность обнаружения дырки в этом состоянии, $\rho _{ c} , \rho _{ v}$ - плотности состояний (2.4а) в зоне проводимости и в валентной зоне, соответственно.

Рис. 34.

Далее учтем интересную особенность функции Ферми-Дирака, а именно: вероятность найти дырку на энергетическом уровне, находящемся на расстоянии $\delta$ ниже уровня химического потенциала $\mu$ равна вероятности найти электрон с энергией на $\delta$ выше уровня $\mu$ (задача 1), то есть

$1 - f( \mu - \delta ) =f( \mu + \delta ).$

(4.11)

Используя (4.11) преобразуем выражение (4.10):

$1 - f (E _{ v } - \varepsilon _{ v} )=1 - f [ \mu -( \varepsilon _{ v} - E _{ v } + \mu )]=f ( \varepsilon _{ v } + 2 \mu - E _{ v} ).$

Тогда можно записать

$n_{ v} = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle f\left( {\displaystyle \varepsilon _{ v} + 2\mu - E_{ v} } \right)} }\,\rho _{ v} \left( {\displaystyle \varepsilon _{ v} } \right)d\varepsilon _{ v} .$

(4.12)

Как будет показано ниже уровень химического потенциала $\mu$ лежит в области энергетической щели, то есть между потолком валентной зоны $E _{ v}$ и дном зоны проводимости $E _{ c}$ .

При $kT\ll E_{ g} =E_{ c} - E_{ v}$ как электронный, так и дырочный газ не вырождены, а, следовательно, функция распределения имеет больцмановский вид (2.15) $f\left( {\displaystyle E} \right) = \exp\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)$ . Используя также выражение (2.4а) для плотности состояний $\rho \left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} m^{ 3/2}}}{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}\hbar ^{ 3}}}}\sqrt {\displaystyle E}$ вычислим концентрацию электронов:

Полученный интеграл (гамма-функция) представляет собой интеграл Эйлера 2-ого рода Г(1/2+1) [Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике"]. Учитывая свойство гамма функции Г(х+1)=хГ(х) и значение ее при $х=1/2 Г( 1/2 )= \sqrt {\displaystyle \pi } , получим Г(1,5)= {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle \pi } }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}$ . Окончательное выражение для концентрации электронов запишется в виде:

$n_{ c} = 2\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m_{ c} kT}}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar ^{ 2}}}}} \right)^{3/2}exp\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \mu - E_{ c} }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right).$

(4.13)

Аналогично для концентрации дырок получим

$n_{ v} = 2\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m_{ v} kT}}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar ^{ 2}}}}} \right)^{ 3/2}exp\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle - \mu + E_{ v} }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right).$

(4.14)

Произведение концентраций (4.13) и (4.14) равно

$n_{ c} n_{ v} = 4\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar ^{ 2}}}}} \right)^{ 3}\left( {\displaystyle m_{ c} m_{ v} } \right)^{ 3/2}exp\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ g} }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)$

(4.15)

и не зависит от положения уровня химического потенциала.

В чистом полупроводнике с собственной проводимостью концентрации электронов и дырок равны. Извлекая корень из (4.15) находим:

$n_{ c} = n_{ v} = 2\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle kT}}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar ^{ 2}}}}} \right)^{ 3/2}\left( {\displaystyle m_{ c} m_{ v} } \right)^{ 3/4}exp\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ g} }}{\displaystyle {\displaystyle 2kT}}}} \right) = n_{ 0} exp\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ g} }}{\displaystyle {\displaystyle 2kT}}}} \right).$

(4.16)

Таким образом, концентрация собственных носителей в полупроводнике зависит как от температуры, так и от ширины запрещенной зоны и не зависит от положения уровня химического потенциала.

Приравнивая (4.13) и (4.14) найдем значение химического потенциала в полупроводниках с собственной проводимостью:

$\mu = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ c} + E_{ v} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 4}}}kT ln{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m_{ v} }}{\displaystyle {\displaystyle m_{ c} }}}.$

(4.17)

Отсюда следует, что при абсолютном нуле температуры уровень химического потенциала находится точно посередине между дном зоны проводимости и вершиной валентной зоны. То же положение он занимает и при конечных температурах, если $m_{ c} =m_{ v}$ . Если эффективные массы электронов и дырок не равны, то уровень химического потенциала смещается с ростом температуры в сторону зоны с меньшей эффективной массой.

Используя термодинамическое определение химического потенциала (см. 2.3.4), можно на качественном уровне показать, что уровень Ферми в чистых полупроводниках лежит в запрещенной зоне.

Основываясь на термодинамическом определении, химический потенциал для электронной системы равен среднему вероятностному изменению энергии системы при изменении числа частиц на единицу, то есть на один электрон. При температуре Т=0, если добавить в собственный полупроводник один электрон (dN=1), то он займет наинизшее свободное энергетическое состояние с энергией $E _{ с}$ . В то же время при уменьшении числа частиц на единицу (dN=-1), энергия системы уменьшится на $E_{ v}$ . Таким образом, среднее изменение энергии системы при $dN= \pm 1$ будет равно $\mu = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ c} + E_{ v} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}$ . Поэтому, независимо от различия эффективных масс, при Т=0 химический потенциал всегда лежит точно в середине запрещенной зоны.

При температуре $Т \ne 0$ , благодаря размыванию ступеньки распределения Ферми-Дирака (рис 35а), в зоне проводимости появляются электроны, а в валентной зоне - свободные состояния - дырки.

Рис. 35.

Рассмотрим случай, когда эффективная масса дырок $m_{ v}$ меньше, чем эффективная масса электронов $m_{ c}$ . Соответствующие данному случаю плотности состояний электронов и дырок изображены на рисунке 35б. Если бы уровень химического потенциала остался в середине запрещенной зоны (рис.35), то заполнение зон соответствовало бы изображенным на рисунке 35в функциям заполнения $\frac{\displaystyle {\displaystyle dn_{ v} }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ и $\frac{\displaystyle {\displaystyle dn_{ c} }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ (2.4б). При этом, как видно на рисунке 35в, заштрихованные площади в валентной зоне и зоне проводимости, равные числу носителей в этих зонах, не одинаковы. Этого быть не может, так как число электронов в зоне проводимости должно быть равно числу дырок в валентной зоне в чистом полупроводнике.

Устранить данное противоречие можно, сдвинув уровень химического потенциала к потолку валентной зоны, то есть в сторону легких носителей заряда (рис. 36а,б,в). Величина сдвига химического потенциала $\mu$ должна точно соответствовать условию равенства концентраций электронов и дырок $n_{ c } = n_{ v}$ .

Рис. 36.

Проанализируем положение химического потенциала $\mu$ при $Т \ne 0$ , основываясь на его термодинамическом определении. Вносим один электрон. Он может занять одно из свободных состояний из числа доступных электронных состояний, для которых $f(E) \ne 0$ . Благодаря размыванию ступеньки распределения Ферми-Дирака, электрон может оказаться как в валентной зоне, так и в зоне проводимости. Химический потенциал при этом следует рассматривать как среднюю энергию вносимого электрона. Качественно можно оценить среднюю энергию вносимого электрона в валентной зоне и зоне проводимости по максимуму функций заполнения $\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dn}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}} \right)$ в этих зонах. Максимум $\frac{\displaystyle {\displaystyle dn_{ c} }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ тяжелых электронов находится ближе к дну зоны проводимости, чем максимум легких дырок к потолку валентной зоны. Откуда следует, что химический потенциал сдвинут в сторону более легких носителей заряда. Чем больше разница в эффективных массах, тем больше этот сдвиг. При равных массах $m _{ c} =m_{ v}$ химический потенциал будет оставаться в середине запрещенной зоны.

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий