Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

2.7. Зоны Бриллюэна для двумерных кристаллов

В случае одномерной решетки, состоящей из одинаковых атомов, разрывы энергетического спектра имеют место при значениях волновых векторов $k = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ , ( $j=1,2,\ldots$ ). При этом ось значений k делится точками разрыва на отдельные участки, которые являются зонами Бриллюэна (рис.12).

Построим зоны Бриллюэна для плоской двумерной квадратной решетки с периодом a. Границы зон определяются условиями Вульфа-Брэгга, определяющими значения длин волн (волновых векторов), при которых электронные волны отражаются решеткой:

$2a_{ i}=j\lambda _{ i}$ или $k_{ i} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a_{ i} }}}j$ ,

где $j=1,2,3,\ldots$ , $a_{ i}$ -расстояние между параллельными отражающими плоскостями (в двумерном случае - линиями) в реальном r-пространстве, а $\frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a_{ i} }}$ - расстояние между соответствующими этим плоскостям границами зон Бриллюэна в k-пространстве (пространстве волновых векторов). Таким образом, каждому семейству атомных плоскостей с периодом a_i в координатном пространстве соответствует семейство параллельных плоскостей в импульсном пространстве (р-пространстве) с периодом $\frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a_{ i} }}$ , на которых энергия электрона испытывает разрыв. Поэтому, чтобы найти границы зон Бриллюэна, будем рассматривать последовательно семейства эквидистантных отражающих плоскостей (рис. 16), образованных атомами кристалла, начиная с семейств с максимальным периодом. К таким семействам в нашем случае относятся два взаимно перпендикулярных семейства плоскостей (линий), перпендикулярных e_x (оси х) и перпендикулярных e_y (оси у). Расстояние между отражающими плоскостями (линиями) в обоих семействах равно периоду решетки a₁=a.

Рис. 16.

Электронные волны с волновыми векторами, имеющими компоненту k_x волнового вектора, равную $k_{ x} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ ( $j=1,2,3,\ldots$ ), испытывают брэгговское отражение от плоскостей первого семейства, перпендикулярных e_x. При этих значениях k_x в энергетическом спектре появляются зоны запрещенных значений энергии, то есть энергия терпит разрыв. В k-пространстве линии разрыва энергии (границы зон Бриллюэна) для таких электронов изобразятся эквидистантными линиями $k_{ x} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ , перпендикулярными оси k_x (рис.17).

Рис. 17.

Аналогично строятся линии разрывов энергии $k_{ y} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}j$ , соответствующие брэгговскому отражению электронных волн от семейства плоскостей, перпендикулярных e_y.

Одно из двух семейств отражающих плоскостей (линий) в r-пространстве с периодом $a_{ 2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle a}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} }}}$ и нормалью n₂ изображено на рис.16. Электронные волны, имеющие составляющую $\pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a_{ 2} }}}j$ волнового вектора в направлении $\pm {\displaystyle \bf n}_{ 2}$ , перпендикулярном рассматриваемым отражающим плоскостям, испытывают брэгговское отражение. Соответствующие линии разрывов энергии в k-пространстве представляют собой эквидистантные линии, перпендикулярные n₂, расстояние между которыми равно \Delta k_{ 2}={\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a_{ 2} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \sqrt {\displaystyle 2} }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} (рис. 17). Аналогично строятся (рис.17) линии разрывов энергии и для второго семейства отражающих плоскостей с тем же межплоскостным расстоянием $a_{ 2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle a}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} }}}$ , но в другом направлении.

Одно из четырех семейств плоскостей с периодом $a_{ 3} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle a}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 5} }}}$ и нормалью n₃ представлено на рисунке 16. Соответствующие этим семействам отрезки линий (плоскостей) разрывов энергии, перпендикулярные n₃ и отстоящие друг от друга на $\Delta k={\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a_{ 3} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi \sqrt {\displaystyle 5} }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ представлены на рисунке 18.

Рис. 18.

Линии разрывов энергии образуют границы зон Бриллюэна. Первая зона представляет собой площадь (наклонно заштрихованную на рис.18), ограниченную совокупностью линий $k_{ x,y} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}$ наиболее близко расположенных к началу координат. Вторая зона Бриллюэна - совокупность площадей (вертикально заштрихованных на рис.18), прилегающих к границе первой зоны и равных по площади первой зоне, третья зона - совокупность горизонтально заштрихованных площадей, четвертая - совокупность не заштрихованных площадей (рис.18). Начиная со второй, зоны становятся многосвязными.

Принцип построения зон в трехмерном случае аналогичен описанному выше. На рис.19 приведены в качестве примера картинки первых двух зон Бриллюэна для (рис.19а) объемно центрированной кубической решетки (такую решетку имеют щелочные металлы при комнатной температуре), гранецентрированной кубической решетки (рис.19б) и гексагональной плотноупакованной решетки (такую решетку имеют двухвалентные металлы - бериллий, магний, цинк, кадмий, а также трехвалентные - иттрий, таллий) (рис.19в).

Рис. 19.

В заключение отметим, что рассмотрение картины рассеяния электронных волн атомными плоскостями кристаллической решетки является удобным и физически наглядным методом построения зон Бриллюэна. Поскольку геометрия зон Бриллюэна определяется только симметрией и параметрами кристаллической решетки, то каждому типу кристаллической решетки можно сопоставить соответствующую ей картину зон Бриллюэна независимо от того, отличен или равен нулю эффективный потенциал решетки.

Литература: [Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, ч.II. гл.2, $\S$ 2; Дж.Займан, 1966, гл.3, $\S$ 3]

2.8 Заполнение электронами энергетических зон. Поверхность Ферми.

2.8.1. Изменение формы поверхности Ферми с ростом концентрации электронов.

Рассмотрим двумерный кристалл с плоской квадратной решеткой с периодом a. Два электрона (с учетом противоположного направления спинов) занимают в плоском p-пространстве "площадь", равную $\frac{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar ^{ }} \right)^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle S}}$ (1.21), где S - площадь двумерного кристалла. Зависимости энергии от импульса в первой зоне Бриллюэна в направлениях <100> (n₁ на рис.17) и <110> (n₂ на рис.17) показаны на рис.20 (кривые 1,2 - соответственно).

Рис. 20.

При малой концентрации электронов импульс Ферми p_F мал (2.2), закон дисперсии для фермиевских электронов близок к квадратичному $E = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m}}}$ и "поверхность" Ферми при $E_{ F}\lt E'$ представляет собой в р-пространстве окружность с радиусом $p_{ F} = \sqrt {\displaystyle 2mE_{ F} }$ . По мере роста концентрации электронов и приближения импульса Ферми к границе зоны Бриллюэна зависимость E(p) начинает отклоняться от параболической, причем в направлении n₁ (<100>) это отклонение начинает проявляться раньше, то есть при меньших значениях импульса, чем в направлении n₂ (<110>), так как в направлении n₁ граница зоны Бриллюэна находится ближе, чем в направлении n₂ (рис.20). Таким образом, одной и той же энергии E" (рис.20) в направлении n₁ соответствует больший импульс p₁">p₂" , чем в направлении n₂. Это означает, что изоэнергетическая поверхность Ферми с ростом концентрации электронов начинает как бы притягиваться (образуя "выпуклость") к серединам границ зоны Бриллюэна, расположенным наиболее близко к центру зоны (рис.21).

Рис. 21.

Степень искажения поверхности определяется как близостью к границе зоны, так и величиной эффективного рассеивающего потенциала. При дальнейшем увеличении концентрации изоэнергетическая поверхность разрывается в местах "выпуклостей" и пересекает границу зоны под прямым углом (так как ${\displaystyle \bf V} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial {\displaystyle \bf p}}}} = 0$ на границе зоны Бриллюэна). При этом происходит качественное изменение топологии "поверхности" Ферми, при котором замкнутая односвязная кривая переходит в многосвязную (рис.21).

Литература: [Дж.Займан, 1966, гл.4, $\S$ 1]

2.8.2 Перекрытие энергетических зон.

Характер дальнейшего изменения кривой (поверхности) Ферми при увеличении концентрации электронов зависит от величины разрыва энергии $\Delta E \approx 2 \cdot |U_{ eff}|$ на границе первой и второй зон Бриллюэна. Имеются две различные возможности.

$\Delta E$ настолько велико, что минимумы энергии во второй энергетической зоне $E_{ min}^{ II}$ , расположенные в направлениях <100> (n₁), лежат выше максимумов энергии $E_{ max}^{ I}$ в первой зоне, которые расположены в углах первой зоны Бриллюэна в направлениях <110> (n₂). В этом случае электронам при увеличении концентрации энергетически более выгодно сначала заполнение всех разрешенных состояний в первой зоне, а затем - заполнение второй энергетической зоны. Такой кристалл для одновалентного вещества будет металлом, для двухвалентного - диэлектриком или полупроводником, в зависимости от величины

$E_g =E_{ min}^{ II}-E_{ max}^{ I}.$

Если $\Delta E$ не велико, так что $E_{ min}^{ II}\lt E_{ max}^{ I}$ (рис.22), то первая и вторая зоны перекрываются. Это означает, что при E_F больше максимального значения энергии в направлении <100> в первой зоне одновременно с заполнением свободных состояний в первой зоне начнут заполняться состояния и во второй зоне. В такой ситуации даже двухвалентный кристалл остается металлом. В одномерном случае этого произойти не может, так как всегда все зоны отделены друг от друга.

Рис. 22.

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий