МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СМЕСЬ
Все задачи данного занятия взяты из книги Дж.Пойа, Ж.Килпатрик, Конкурсные задачи по математике Станфордского университета: с подсказками и решениями (образование в США)М.,1994

---

1.Нумерация страниц

    Чтобы пронумеровать страницы объемистого тома, печатник использовал 2001 цифру. Сколько страниц содержит том?

Хочу подсказку

Хочу решение

---

2. Квадрат целого числа

    Доказать, что нет такого числа в последовательности 11, 111, 1111, 11111,..... которое является квадратом целого числа.

Хочу подсказку

    Решение:
1-ое решение. Если квадрат некоторого числа оканчивается на 1, то само число может оканчиваться на 1 или 9, т.е. число можно записать в виде a=10*n+1 или a=10n+9, если числа указанного вида возвести в квадрат, то предпоследняя цифра будет четной, а последняя цифра данных чисел 1, следовательно, данные числа не являются квадратами.
2-ое решение. Числа, данные в условии, можно записать в виде 11+100n и заметить, что при делении на 4 получим остаток 3. Квадрат четного числа при делении на 4 дает остаток 0, а квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1 (воспользуйтесь формулой возведения в квадрат чисел вида 2n+1), следовательно, числа указанного типа не являются квадратами.

---

3.Распределение денег

    Десять человек сидят за круглым столом. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них по правилу, согласно которому каждый получает одну половину от суммы, которую его два соседа получают вместе. Есть ли только один путь, чтобы распределить деньги таким образом? Докажите ваш ответ.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

4.Сколько лет капитану?

    Сколько лет капитану, сколько у него детей и какова длина его корабля? Дано число 32118, являющееся произведением трех искомых чисел (целых). Длина корабля дана в футах (и равна нескольких футам), капитан имеет двоих сыновей и дочерей, ему больше лет, чем детям, но ему еще не сто лет.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

5.Сумма факториалов.

    Обратите внимание, что значение 1!1+2!2+3!3+... +n!n равно 1,5,23,119 для n=1,2,3,4 соответственно. Установите общий закон и докажите его.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

6.Решим систему

    Решите систему уравнений x+y+u=4, y+u+v = - 5, u+v+x=0, v+x+y= - 8.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

7. Еще одна система

    Решите систему уравнений 5732x+2134y+2134z=7866, 2134x+5732y+2134z=670, 2134x+2134y+5732z=11464.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

8. Кем выпита кока-кола?

    Был очень жаркий день, и четыре пары выпили вместе 44 бутылки кока-колы. Aнна выпила 2, Бетти 3, Кэрол 4 и Дороти 5 бутылок. М-р Браун выпил столько же бутылок, сколько и его жена, но каждый из других мужчин выпил больше чем его жена: м-р Грин вдвое, м-р Вайт в три раза и м-р Смит в четыре раза. Назовите жен этих мужчин.

Хочу подсказку

Хочу решение