ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ Все задачи этого занятия взяты из книги "Математический кружок".Задачник первого-второго года обучения.Составитель: С.В.Иванов. Санкт-Петербург, 1993.
Шуточно принцип Дирихле можно сформулировать так:
"Если трех зайцев рассаживать в две клетки, то обязательно будет клетка, в которой будет не менее двух зайцев"
"Если же пять зайцев сажаем в две клетки, то обязательно найдется клетка, в которой будет не менее трех зайцев"

---

1.Делимость разности на 2000

    Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

2. Делимость чисел на 1988, 1989

    Доказать, что найдется число вида
а)1989...19890...0 (несколько раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей), делящееся на 1988;
б)1988...1988, делящееся на 1989.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

2. Делимость чисел на 1988, 1989

    Доказать, что найдется число вида
а)1989...19890...0 (несколько раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей), делящееся на 1988;
б)1988...1988, делящееся на 1989.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

3. Сумма 123 чисел

    Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих чисел можно выбрать 100 с суммой не меньше 3100.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

4. Несколько чисел подряд

    В ряд выписано 100 натуральных чисел. Доказать, что найдутся несколько подряд, сумма которых делится на 100.

Хочу подсказку

    Решение:
Рассмотрим множество, состоящее из ста элементов: x₁, x₁+x₂, …, x₁+x₂+… +x₁₀₀. Все элементы этого множества разделим на 100 и рассмотрим остатки от деления.
Если есть элемент этого множества, который делится на 100 без остатка, то соответствующая сумма и является искомой.
Если нет числа, делящегося на 100, то как и в предыдущих задачах делаем вывод, что есть два элемента, имеющие равные остатки. Действительно, мы будем рассматривать остатки 1,2,3,…,99 при наличии 100 чисел, т.е. обязательно будут по крайней мере два числа с одинаковыми остаткамим. Вычтем эти элементы и получим (x₁+…+x_k+ x_k+1+… +x_n)-(x₁+x₂+… +x_k) =(x_k+1… +x_n)=(100a+r)-(100b+r)= (100(a-b)), т.е. сумма всех чисел подряд от k+1 до n делится на 100.

---

5.Таблица 6*6

    Можно ли в таблице 6*6 расставить числа 0,1,-1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

6. Планета Тау Кита

    На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

7.Точки на клетчатой плоскости

    В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

8. За круглым столом

    За круглым столом сидят 100 человек, из них 51 лысые. Доказать, что какие-то двое из них сидят напротив друг друга.

Хочу подсказку

Хочу решение