Математический кружок 6 класс
Занятие 26. 21 апреля 2001 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
3.05.2001 14:53 |
Кружок МЦНМО
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
Все задачи этого занятия взяты из книги "Математический
кружок".Задачник первого-второго года обучения.Составитель:
С.В.Иванов. Санкт-Петербург, 1993.
Шуточно принцип Дирихле можно сформулировать так:
"Если трех зайцев рассаживать в две клетки, то обязательно будет
клетка, в которой будет не менее двух зайцев"
"Если же пять зайцев сажаем в две клетки, то обязательно
найдется клетка, в которой будет не менее трех зайцев"
1.Делимость разности на 2000
Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два,
разность
которых делится на 2000.
Хочу подсказку
Хочу решение
2. Делимость чисел на 1988, 1989
Доказать, что найдется число вида а)1989...19890...0
(несколько
раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей),
делящееся на 1988; б)1988...1988, делящееся на 1989.
Хочу подсказку
Хочу решение
2. Делимость чисел на 1988, 1989
Доказать, что найдется число вида а)1989...19890...0
(несколько
раз повторено число 1989, а затем стоит несколько нулей),
делящееся на 1988; б)1988...1988, делящееся на 1989.
Хочу подсказку
Хочу решение
3. Сумма 123 чисел
Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих
чисел можно
выбрать 100 с суммой не меньше 3100.
Хочу подсказку
Хочу решение
4. Несколько чисел подряд
В ряд выписано 100 натуральных чисел. Доказать, что найдутся
несколько подряд, сумма которых делится на 100.
Хочу подсказку
Хочу решение
5.Таблица 6*6
Можно ли в таблице 6*6 расставить числа 0,1,-1 так,
чтобы все
суммы по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были
различны.
Хочу подсказку
Решение:
Самая маленькая сумма - это -6,когда складываются шесть
-1; самая большая сумма - это 6,
следовательно, различных сумм может быть семь (не забывайте про сумму
равную нулю).
Имеется шесть вертикальных столбцов, шесть горизонтальных строк
и две диагонали, т.е. мы подсчитываем восемь сумм, которые могут
принимать семь значений, следовательно, по крайней мере на двух
позициях значения совпадут.
Ответ: нет
Самая маленькая сумма - это -6,когда складываются шесть
-1; самая большая сумма - это 6,
следовательно, различных сумм может быть семь (не забывайте про сумму
равную нулю).
Имеется шесть вертикальных столбцов, шесть горизонтальных строк
и две диагонали, т.е. мы подсчитываем восемь сумм, которые могут
принимать семь значений, следовательно, по крайней мере на двух
позициях значения совпадут.
Ответ: нет
6. Планета Тау Кита
На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади.
Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту,
соединяющую сушу с сушей.
Хочу подсказку
Хочу решение
7.Точки на клетчатой плоскости
В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать,
что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает
в узел.
Хочу подсказку
Хочу решение
8. За круглым столом
За круглым столом сидят 100 человек, из них 51 лысые.
Доказать, что какие-то двое из них сидят напротив друг друга.
Хочу подсказку
Хочу решение
Написать комментарий
|