ЧИСЛА. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Все задачи этого занятия взяты из книги Бабинской И.Л. "Задачи математических олимпиад, Москва, 1975.

---

1.Несократимая дробь

    Доказать, что дробь (12n+1):(30n>+1) несократима.

Хочу подсказку

    Решение:
Рассмотрим обратную дробь (30n+1):(12n+1)=2+(6n-1):(12n+1). Чтобы доказать несократимость последней дроби, рассмотрим ей обратную и преобразуем ее (12n+1):(6n-1)=2+3:(6n-1). Легко заметить, что последняя дробь несократима, т.к. знаменатель не делится на три, а затем делаем вывод, что и все предыдущие дроби несократимы.

---

2. Произведение простых чисел

    Доказать, что произведение n первых простых чисел не является полным квадратом.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

3. Произведение последовательных чисел

    Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

4. Числа не являющиеся квадратами

    Доказать, что ни одно из чисел p-1 и p+1, где p - произведение первых n простых чисел (n>1 ), не является полным квадратом.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

6.Сумма n чисел

    Найти сумму а) 1+11+111+...+111...1, где последнее число содержит n единиц; б)аналогичная задача, когда вместо единиц стоят пятерки.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

5.Целочисленные решения

    Решить в целых числах уравнение xy=x+y.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

7.Разложение 552 гири

    Имеются 552 гири весом 1г,2г,3г,,552. Разложить их на три равные по весу кучки.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

8.Разложение 555 гирь

    Имеются 555 гирь весом 1г,2г,3г, ,552. Разложить их на три равные по весу кучки.

Хочу подсказку

Хочу решение

---

9.Доказать неравенство

    Доказать 1:2²+1:3²+1:4²+…+1:n²<1

Хочу подсказку

Хочу решение