Малый Мехмат 9 класс
Занятие 20 24 марта 2001 года
Многочлены
Старшина Петров выстроил 25 человек в шеренгу и велел им рассчитаться по
порядку номеров. Оказалось, что
а) любые два солдата, разность номеров которых делится на 9 или на 10,
имеют одинаковые имена. Докажите, что всех солдат, доставшихся в подчинение
Петрову, зовут одинаково;
б) у любых двух солдат, разность номеров которых делится на 9 или на 12,
одинаковые имена. Сколько имен теперь придется выучить Петрову?
Даны два многочлена
f (x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x1 + a0 и
g(x) = bnxn + bn - 1xn - 1 + ... + b1x + b0. Придумайте многочлен, такой что
а) он обращается в ноль только при тех значениях x, при которых оба
многочлена и f и g равны нулю.
б) он обращается в ноль при любом значении x таком, что в нем хотя бы один
из многочленов f и g равен нулю.
Чему равна сумма а) всех коэффициeнтов б) коэффициентов при четных
степенях x многочлена
(x2-x+1)2000?
(Указание: попробуйте вместо х подставить какое-нибудь конкретное значение)
P(x) -- многочлен с целыми коэффициентами, числа a и b целые.
Докажите, что P(a) - P(b) делится на a - b.
P(x) -- многочлен с целыми коэффициентами, причем P(2) делится на
5, а P(5) делится на 2. Докажите, что тогда P(7) делится на 10.
(Указание: воспользуйтесь задачей 4)
В конференции участвовало 100 человек -- химиков и алхимиков. Каждому был
задан вопрос: "Если не считать Вас, то кого больше среди оставшихся
участников -- химиков или алхимиков?". Когда опросили 51 участника, и все
ответили, что алхимиков больше, опрос прервался. Алхимики всегда лгут,
а химики говорят правду. Сколько химиков среди участников?
Строки и столбцы таблицы 9 X 9 занумерованы числами от 2 до 10,
а в каждую клетку вписано произведение номера строки на номер столбца.
Несколько строк и столбцов вычеркнуты. Может ли сумма оставшихся чисел
оказаться простым числом?
Alexandr Ryzhov
2001-04-02
Написать комментарий
|
