Малый Мехмат 9 класс
Занятие 19 17 марта 2001 года
Разнобой
Решите ребус
АХ . УХ = 2001
Докажите, что существует бесконечно много решений
(в натуральных числах) уравнения
а) x2 = y5
б)
x2 + z3 = y5
В стране Летляндии некоторые города соединены авиалиниями.
Известно, что из города А в город Б нельзя долететь меньше, чем с 10
пересадками. Докажите, что можно так распродать авиалинии 11 авиакомпаниям,
что из А в Б невозможно будет долететь, не воспользовавшись услугами всех
11 авиакомпаний.
В треугольнике ABC проведены высоты AM и CN. Докажите,
что серединный перпендикуляр к отрезку MN делит сторону AC пополам.
Придумайте выражение, зависящее от x такое, что
если вместо x подставить 5, полученное значение равнялось 1,
а при подстановке 1, 2, 3, 4 его значение было равно нулю.
Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между
его точками. Можно ли квадрат со стороной 1 разбить на на 3 многоугольника,
диаметр каждого из которых меньше 1?
Петя выписывает числа в ряд. Вначале он написал 1, затем --
2, а каждое следующее число он получает из предыдущего прибавлением
к нему его наибольшего простого делителя (так третье число равно 2+2=4,
четвертое -- 4+2=6 и так далее). Сколько чисел выписано между
а)
47 . 47 и
53 . 53?
б) p2 и q2, если p и q -- соседние простые числа?
Какое число стоит на 3999 месте?
Последовательность задана рекуррентно: a1 = 1;
an + 1 = an + 1/an при
всех n > 1. Докажите, что a)
a100 > 14; б)
a100 < 18.
Alexandr Ryzhov
2001-03-22
Написать комментарий
|
